奔驰定理+等和线+建系+数量积（一道很好的等和线相关问题）
一、题目
已知 为锐角三角形 的外心，
，且 ，
求 的取值范围.
二、解法
解法1：奔驰定理
根据三角形外心的向量表达形式:
,
将条件化为，,
从而可得:,
根据题意，有.
记 ，则.
，
则 的取值范围是.
有关奔驰定理的内容，可以参考这篇文章:
解法2：等和线
将条件转化为:
, 如图所示：
取 的中点，
可得：,
因为题目明确要求为锐角三角形，
点只能落在劣弧上(不含端点)，
根据等和线相关知识，可知：
当点落在直线上时，系数和之和为1，
即等系数和线：,
将这条线向右平移，系数和会逐渐变小，
当直线与圆在点处想切时，此时,
上图中作出了四条等和线.
可得 的取值范围是.
解法3：建系
以外接圆圆心为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，不妨令外接圆半径为2， 则，
设由
得
化简得：
可得
方法四：数量积
解：将条件 两边平方可得：
由判别式,结合，
可得 的取值范围是.
实际上这是一个线性规划问题，
作出图像：
如图中所示，
的图像是一个倾斜的椭圆落在第三象限的部分，
直线可以上下平移，但是要与红色加粗部分的图像有交点，
显然，当直线过点时，值为,
当直线过点时，值为,
可得.
动图如下：
还有一些方法，是将这个式子，
三角换元，或者比例换元，或者目标换元等等，属于同一类方法，不再赘述，
过程中要特别注意的范围.
方法五：一个很是凑巧的点乘
设
由题意可知
即:，由,
易得:.
三、反思
1.个人觉得，建系的方法应该放在第一位，但是这种类型的题目，
保不准建系后的运算是否繁琐，若繁琐，也得坚持算到底，对运算能力要求较高；
2.“等和线”法应该排在第二位，在操作的时候，要精细，严谨；
3.奔驰定理是二级结论，能记住当然很好；
4.最后一种方法，纯属巧合，实际上也应该归于第4种方法，都是使用数量积这个工具把向量问题变为数量问题.
