一、题目
向量导学案一道习题：
已知 是 内的一点, .
(1)若 是 的外心, 求 ;
(2) 若 是 的垂心, 求 的余弦值.
二、解法
班级同学分为三派：基底派，奔驰定理派，平面几何派，
各自给出了非常精彩的解法,以下分别给出他们的精彩解法.
第（1）问：
解法1：基底思想+外心定义1+数量积
解：(1) 设 为 的中点, 为 中点,
是 的外心,
所以 ,
点 在边 和 的垂直平分线上,
,
]
,
,
即 ①,
同理,
可得 ②,
联立①②得, 而 ,
则 , .
解法2：基底思想+外心定义2+数量积
由题意知：
则：
由外心的定义可知：,
将上面三个式子平方，等式右边相等，化简可得：
和，
这样就和解法1的效果一样了，以下同解法（1）.
解法3：奔驰定理+和差化积
由 可得
根据奔驰定理所得到的外心的向量形式可得：
以下根据上面的式子得到两个结果：
第一个结果：
,
由和差化积公式可得：
进一步化简可得：
即：
第二个结果：
结合以上结果，可解得：
或
.
解法4：平面几何知识+余弦定理
如上图,由题意知道：
将其整理一下得到：
,
由于,由向量的共线定理可知：
,
不妨设：
在中使用余弦定理，可得：
由利用,可得：
，
，
易得：，
.
解法5：平面几何知识
还有一个平面几何的方法，都在如上的图里了，因为时间不够，先放图出来，有空再详细说.
三、反思
1.此题的第二问，也就是点为重心的情况，方法类似，就不一一再说了；
2.还有一种思路，建系，感觉可以，没有尝试，期待您的尝试.
