全分参+几何意义+半分参+洛必达法则
一、题目
函数 有三个不同的零点,
则实数 的取值范围为？
二、解法
解法1：半分参+几何意义
解：由,
可得,
令 ，该函数的定义域为 ，
因为
,
所以，函数 为奇函数，且 ，
要使得函数 有三个零点，
即函数 有三个零点，
只需函数 在 上有且只有一个零点，
即只需函数 与函数
在 上的图象有且只有一个公共点,
当 时,
,
所以, 函数 在 上单调递增,
所以, 函数 在 上单调递增,
因为,
,
令,
其中, 则,
即函数 在 上单调递减,
作出函数 与函数
在 上的图象如下图所示:
当直线 与函数 的图象相切于原点时,
,由图可知, 当
时,
直线 与函数 在 上的图象
有且只有一个交点,
综上所述，实数 的取值范围是.
故答案为:.
解法2：全分参+洛必达法则
全分参可得：
易知
, 即 单调递增，
, 即 单调递减，
以下使用“洛必达”法则求极限：
图像如下：
三、反思
1.半分参，找寻几何意义，对于此题，应该是最好的方法；
2.全分参的代价就是，函数解析式比较复杂；
3.全分参还有一个代价，就是间断点和两端需要求极限；
