直线与双曲练的位置关系（周六第10题）
一、题目
10."黄金双曲线"是指离心率为"黄金分割比"的倒数的双曲线
★（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，
则这个比值称为 "黄金分割比").
若黄金双曲线 的左右两顶点分别为 ，
虚轴上下两端点分别为, 左右焦点分别为,
为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦,
为 的中点. 设双曲线 的离心率为, 则（）
A.
B.
C. 直线 与双曲线 的一条渐近线垂直
D. 直线 与双曲线 的左支有两个不同的交点
二、解答
第一步，首先算出黄金分割比，
绝大部分同学不需要计算，能记得，,
若计算，过程如下：
设整个长度为1，较大部分为,则有
,则,
解得：黄金分割比就是.
第二步：对选项逐项考察
A选项显然正确；
B选项与一个二级结论相关：
则，
对于焦点在轴上的双曲线来说，结果是：,
对于焦点在轴上的椭圆来说，结果是：.
★这个结论可以使用点差法来证明，此处略过.
显然B选项错误；
C选项：
直线 的斜率为,
双曲线 的一条渐近线斜率为，
由可得：,
则直线 的斜率与双曲线 的一条渐近线斜率之积等于,
则两条直线垂直，C正确.
D选项:
渐近线斜率为：,
即渐近线斜率比这条直线斜率大，
根据图形可知：
直线 与双曲线 的左右两支各有一个交点.
三、反思
1.共有7位同学选了AD选项，有7位同学选了ACD,
误选D选项，应该是因为作图不准造成的，
只要搞清楚直线斜率和渐近线斜率的大小关系，就不会搞错.
2.如果时间足够，也可使用代数法，联立方程解一下即可.
