余弦定理+正弦定理+辅助角公式+托勒密定理+瓜豆原理
一、题目
如图在平面凸四边形ABCD中，
，
,为边BC的中点.
（1）若 ，求的面积；
（2）求的最大值.
二、解法
方法一:余弦定理+正弦定理+辅助角公式
设.
因为 分别为边 的中点, 所以
.
在 中, 由余弦定理, 得
.
由正弦定理,
得：.
在 中,
.
由余弦定理,
得
其中. 当,
即 时,
有最大值:
.
所以 长的最大值为.
方法二: 托勒密定理
取 边的中点, 记为 , 联结 ,
在四边形 中, 设,则由托勒密定理可知
可得
消去
当且仅当四点共圆时，等号成立.
方法三：瓜豆原理
以 为斜边作等腰直角三角形 ，
如图所示，联结,
则,
则,
又因为, 所以,
再由,
,
当且仅当 三点共线时，等号成立.
动图如下：
三、反思
1.此题其实还可建系，比如以点为原点，以为轴，
设，如下动图：
只要写出点轨迹方程即可，以下过程略.
2.或者这样建系，以点为原点，以为轴，
设，如下动图：
3.此题解法最快还是托勒密定理推广形式，学竞赛还是有用的.
