含参讨论+适当变形+先必要后充分+分离参数（一道导数恒成立问题的多解）
一、题目
已知函数 满足 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若关于 的不等式
在 上恒成立, 求实数 的取值范围.
二、解法
第（1）题较简单，没有参数，二次求导即可解决.
主要研究第（2）题的解法。
解法1： 直接转译，寻求函数最小值大于 0
这类问题的一般解法是什么？
不等式 在 上恒成立，
即 ,
问题转化为求 .
设 ，
下面的目标一是求 的最小值，二是解不等式 .
这就是处理此类问题的一般方法.
解: 由 得 .
设 ，
则 .
设 ，则 2.
当 时, 单调递减；
当 时， 单调递增,
所以 .
(1) 当 时, .
又 在 上单调递减，
所以 在（ 0 ， 上小于 0 ,
所以 在 上单调递减.
又 ，所以当 时， ，
不满足在 上大于 0 恒成立.
(2) 当 时,
即 , ,
即 , 所以 在 上单调递增, 又 , 所以 .
(3)当 时，
,
所以 ,所以存在 ，使 ，
所以当 时， 单调递增.
又 ，所以存在 ，使 ，
即当 时, 单调递减.
当 时, 单调递增.
若要 ，只需 ，
又 ，所以 ,
即 .
又当 时, ,
故 , 所以 .
又 , 所以 .
综上， .
解法2： 变换结构形式，减少求导次数
由于 中含有 ，
所以需要两次求导加讨论解决，
如遇 可能还需要讨论三次，更加麻烦.
此时可以将不等式结构改变为 ，
由于 在分母，可以进行一次讨论, 即可求出其单调性.
解:设 ,
则 .
(1)当 时， ，所以 .
所以 时, 单调递增；
时, 单调递减.
所以 ，不满足题意.
(2) 当 时, ,
所以 时, 单调递减；
时, 单调递增;
, 单调递减.又 ，
所以需要 ，即 .
所以 .
(3) 当 时, ,
所以 单调递减, , 所以 .
(4)当 时， ，
而 满足题意，所以 满足题意.
综上， .
解法3 综合思维，利用必要条件缩小范围
很多学生发现 中 ,
无法求 , 又要证 上 ,
所以用"端点效应", 即 ,
得 ,又不进行严谨的推导，导致错误.
事实上， 时， ，
很容易发现 0 ，所以是不成立的.
也可以直接求 的最小值，发现不成立.
解: ，
因 ， ，
若 ，需要 .
又 ，需要 ，
故猜想 .
下面证明 时成立。
当 时, 设 1 ,
则 ,
所以 时, 单调递减；
时， 单调递增；
时， 单调递减.
又 ，所以满足题意.
当 时, , 所以成立.
解法3+: 探究本质，理解方法的原理
解法 3 恰好选择了 ，得 .
这个必要条件也是充分条件，缩小了参数的范围。
这样处理没有参数的"纠细"，便于求解.
困难在于如何恰好选择到 ，而不是 等.
综合考虑，一是选择的值要特殊，如 等，二是作简单比较.
如本题 不行， 时，由 得 ，
而 ，所以选择 ，
当然关键还是要证明成立的充分性.
事实上，由上面的讨论发现 的图象是从 0 先增后减再增的，
也就是说取最小值时其图象与 轴相切，
相应的也就是 与 其图象相切.
设切点横坐标为 , 则有
解之 得 ，所以选择1.
考试可以作简单判断.
解法4 分离参数，简洁求解
此题由于参数只有一个 ，方便用分离参数的方法求解。
解： 由 , 得
易证 ，
故 时， ， 单调递减；
时， 单调递增.
所以 , 即 ，所以 .
