辅助角公式 +三角函数的图像性质+特殊值法+诱导公式+函数图像的变换+连续可导函数的极值点处导数值为零
一、题目
已知函数 为常数，
的图象关于直线 对称，
则函数 的图象( )
A. 关于点 对称
B. 关于点 对称
C. 关于直线 对称
D. 关于直线 对称
二、解法
解法 1 ： 辅助角公式 +三角函数的图像性质
(其中 )
因为函数 图象关于直线 对称,
则
化简得:
即：
即：.
所以
,
函数 的对称轴方程为:
,
即 ,
当 时, 对称轴为直线 .
所以 的图象关于直线 对称. 选 C
解法2:特殊值法
因为函数 的图象关于直线 对称,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
函数 的对称轴方程为 ,
即 , 当 时, 对称轴为直线 .
所以 的图象关于直线 对称.
解法3：诱导公式+函数图像的变换
由 关于 对称
则的图像和的图像关于轴对称，
则的图像关于 对称
的图像是由的图像向右平移个单位
所以的图像关于对称.
解法4：连续可导函数的极值点处导数值为零
因为函数 的图象关于直线 对称,
由的图像处处连续且可导，
则为最值，也一定是极值，
则,代入可得：.
以下过程同上.
三、反思
1.形如的函数，在对称轴处取得最值.
学生对此印象深刻，所以法1和2，最为自然，且运算量不大，
相比之下，法2 的计算更为快捷.
2.法3其实洞悉了此题的本质：函数图像的变换.
3.法4用的是：
连续可导函数的极值点处导数值为0.
也很简洁.
