这样秒杀，岂不更爽？构造法+算两次+三角换元+暴力运算+基本不等式（合肥一中高三11月份月考压轴题解法集锦）
一、题目
已知正数满足,
则 的最小值为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、解法
解法1：构造几何图形+算两次
公众号:帅琪的数学笔记
链接在此：
构造图形真爽法.
帅琪，公众号：帅琪的数学笔记合肥一中这道月考压轴题这样做真爽
解析: 构造 , 使得 边上的高为 ,
如图所示:
由面积关系, 可知 ,
即 ,
结合已知条件, 易得 ,
所以 .
从而 , 即 .
故 ,
取等条件略, 正确答案为 A .
解法2：三角换元+基本不等式
公众号：阿叶数学
链接如下：
三角换元秒杀法
叶超杰，公众号：阿叶数学合肥一中高三这道月考压轴题其实可以“秒杀”
解: 令 , 此时
于是
则
由基本不等式可知
当且仅当 时, 等号成立.
解法3：两次平方去根号
玉麒麟的方法，硬算
由 ，
平方得出
,
再平方可得：
化简可得
得
即 .
以下解法和解法1相同.
解法4：换元法+基本不等式
令
，
代入：,
可得：
观察等式左边：
，
取等条件恰为 ，
即 ，
以下解法和解法1相同.
三、反思
1.此题的本质，其实就是利用代数式自身的结构，
逼出与的等量关系：
2.方法1是从形的角度，使用算两次思想，得到了这个关系式；
3.解法2是从三角换元的角度，得到了这个关系式.
使用此法，
需要对这个三角恒等式足够敏感，
当然，这个三角恒等式也是双曲线方程三角换元的基础.
4.方法3，无脑算，得到这个关系式，对计算能力要求较高；
5.方法4，适当换元，从基本不等式的角度，得到这个关系式，
应该是所有方法中最为简洁的.
6.其他方法，如拉格朗日乘数法，计算量过大，不宜使用.
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