函数的单调性+隐零点+切线放缩+二分法提高零点精确度
一、题目
已知函数 , 求证:
(1) 函数 有唯一的极值点 及唯一的零点 ;
(2)
二、解法
主要是对第（2）问进行辨析，
(1)当 时,
由于 单调递减, 单调递减,
所以 单调递减.
又 ,
,
所以存在 , 使得 ,
即 在 只有 1 个零点，无极值点；
(2) 当 时,
,
令 ,
,
因为 和 在 上均单调递减,
所以 单调递减,
因为 ,
所以存在 , 使得 ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减;
又 ,
，
所以存在 , 使得 ,
因为 ,
的图像如下：
所以当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减;
所以 是 的极大值点, 无极小值点,
因为 ,
所以当 时, 恒成立, 即函数 无零点;
综上, 函数 有唯一的极值点 及唯一的零点 ;
的图像如下：
+
（2）
解法1：函数的单调性+隐零点+切线放缩
由（1）知 ,
如下图：
则都在的单调递减区间内，
所以容易想到：,
接下来，这个问题变为隐零点的问题
由于 为 的极值点,
所以 ,
即 ,
所以
,
设 ,
则 ,
所以 单调递增,
所以 ,
即 , 即 ,
在做大题的时候，这一步的常见的切线放缩，
最好还是证明一下.
所以
,
令 ,
则 ,
所以 在 上单调递减,
所以 ,
所以 ,
又因为 在 上递减, 所以 .
解法2：二分法提高精确度
由第（1）问知道：
,
由此也可考虑，能否把的值估得再精确一点，
最好出现这样的形式：
关键就是找到这个恰好的,
经过尝试，发现就可以，
图如下：
简单证明如下：
,
显然有，
则有,
故;
,
故.
所以有：.
三、反思
1.第（2）问的解法1很自然，
只不过，把放大为，
这一步需要胆大心细，
解法2也很不错，而且若继续提高估值的精确度，
可把这个问题继续加强：
用引擎算了一下：
,
,
从这个数据上来看，改造加强的空间不大，
就不继续探究了；
2.估算的能力很重要，批阅过程中发现有几位同学使用的是方法2，
而且计算得很简洁、清晰，这需要在平时的学习中，强化练习，
重视运算才能提升运算素养，为又好又快地应试打下坚实的基础.
