厚道的“保值区间”
一、题目
若函数 在区间 上同时满足：
(1) 在区间 上是单调函数；
(2)当 , 函数 的值域为 ,
则称区间 为函数 的"保值"区间,
若函数 存在"保值"区间, 求实数 的取值范围？
二、解法
解：函数 在 上单调递减,
在 上单调递增,
(1)若 ，
则 ， 由 ，
即函数 在 有两个不等的实数根；
设 ,
所以 ,
解得 .
(2)若 ,
则 ,
由 ,
两式相减可得 ,
所以 ,
从而 ,
即 ,
同理可得 ,
设 , 所以 ,
解得 .
综上可得, 实数 的取值范围为 .
故答案为: .
三、反思
1.此题很厚道，直接规定了：
在区间 上是单调函数；
2.这样就减少了一种情况：
在区间 上是先减后增；
3.如果把这个限制去掉，也是很有意思的，
聪明的你，有空做一做看看，
也是很好玩的事情哦.
