异面直线成角范围(11月底周练第12题,很好的一道立体几何多选题)
一、题目
如图, 在正四面体 中,
已知 为棱 的中点.
现将等腰直角三角形 绕其斜边 旋转一周
(假设 可以穿过正四面体内部),
则在旋转过程中, 下列结论正确的是()
A. 三角形 绕斜边 旋转一周形成的旋转体体积为
B. 四点共面
C. 点 到 的最近距离为
D. 异面直线 与 所成角的范围为
二、解法
解:
对于 : 因为, 所以等腰直角三角形的直角边为, 斜边的高为 1 ;
旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体, 其圆锥的底面半径为 1 , 高为 1 ;
所以几何体的体积为 错误;
对于 : 在正四面体 中, 各个侧面都是等边三角形,
又因为 为棱 的中点,所以,
又 相交于点, 又都在平面 内,
所以 平面,
又 与平面 有一个公共点,
所以 在平面 内,
所以 四点共面, 故 正确;
对于 : 在图 1 中, 令 为 的中点, 为 的中点,
则点 在以 为圆心, 1 为半径的圆上运动,
由图可知当 三点共线, 且当运动到 的位置时,
到 的距离最小,
在Rt 中,,
所以 正确;
对于 : 由 可知, 在圆锥的底面内,
如图 1, 由圆锥轴截面中,,
由线面角的概念可知, 与圆锥底面中的直线所成最小角就是,
最大角一定为,
由此可知异面直线 与 所成角的范围为, 正确.
故选:.
三、反思
1.选项共有12位同学丢掉,不敢选,或者是时间因素,保守处理,直接丢掉;
2.实际上把固定在平面内任意位置都可以,只要让直线旋转起来即可,不妨碍题意.解答中说的也是这个意思.