异面直线成角范围(11月底周练第12题,很好的一道立体几何多选题)

文摘   2024-12-02 23:12   江苏  

异面直线成角范围(11月底周练第12题,很好的一道立体几何多选题)

一、题目

如图, 在正四面体 中,

已知 为棱 的中点.

现将等腰直角三角形 绕其斜边 旋转一周

(假设 可以穿过正四面体内部),

则在旋转过程中, 下列结论正确的是()

A. 三角形 绕斜边 旋转一周形成的旋转体体积为

B. 四点共面

C. 点 的最近距离为

D. 异面直线 所成角的范围为


二、解法

解:

对于 : 因为, 所以等腰直角三角形的直角边为, 斜边的高为 1 ;

旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体, 其圆锥的底面半径为 1 , 高为 1 ;

所以几何体的体积为 错误;

对于 : 在正四面体 中, 各个侧面都是等边三角形,

又因为 为棱 的中点,所以,

相交于点, 又都在平面 内,

所以 平面,

与平面 有一个公共点,

所以 在平面 内,

所以 四点共面, 故 正确;

对于 : 在图 1 中, 令 的中点, 的中点,

则点 在以 为圆心, 1 为半径的圆上运动,


由图可知当 三点共线, 且当运动到 的位置时,

的距离最小,

在Rt 中,,

所以 正确;

对于 : 由 可知, 在圆锥的底面内,

如图 1, 由圆锥轴截面中,,

由线面角的概念可知, 与圆锥底面中的直线所成最小角就是,

最大角一定为

由此可知异面直线 所成角的范围为, 正确.

故选:.

三、反思

1.选项共有12位同学丢掉,不敢选,或者是时间因素,保守处理,直接丢掉;

2.实际上把固定在平面内任意位置都可以,只要让直线旋转起来即可,不妨碍题意.解答中说的也是这个意思.


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