含参分类讨论+全分参+半分参+极值点偏移（构造对称+对数均值不等式）2016 年全国卷 I 压轴题
一、题目
2016 年新课标全国卷 I 压轴题：
已知函数 有两个零点.
(I)求 的取值范围;
(II) 设 是 的两个零点, 证明: .
二、解法
(一)
第（I）问的三种解法:
解法 1 (含参分类讨论)
求导得:
.
(1) 若 ，
则 ，
此时 只有一个零点 , 不合题意;
(2)若 ，
则 ，
故当 时， ,
当 时, ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ， ，
当 时， ，由零点存在性定理知，
此时 有两个零点，符合题意；
(3) 若 ，
由 得 或 .
再分类：
A:若 , 则 ,
故当 时, 在 上单调递增.
又当 时, ,
所以 不会有两个零点, 不合题意;
B:若 , 则 ，
故当 , 时, ；
当 时, .
因此 在 上单调递减，在 上单调递增.
又当 时， ，所以 不会有两个零点，不合题意.
综上， 的取值范围是（ ）.
解法 2 (参变量完全分离)
令 ，
显然 ，则 .
记 ,
则 ,
因此, 当 时, , 在 上单调递增.
而当 时, ；
当 时， ，
即 在 上的值域为 .
当 时, 在 上单调递减，
而当 时， ；
当 时， ，
即 在 上的值域为 ， .
故 的图象如图1所示.
所以，若函数 有两个零点，
即方程 有两个实根，则 的取值范围为 .
图 1
解法 3 （参变量部分分离）
令 ，
显然 ，则 .
记 ,
则 ，
因此 在 , 上均单调递减.
当 时, ,
当 时, ；
当 时， ，当 时， ，
故 的图象如图 2 所示.
图2
所以，若函数 有两个零点,
即动直线 与函数 的图象有两个不同的交点，由图可知 的取值范围为 .
(二) 第（II）问的四种证法
证法 1 ：
根据（I）的结果，不妨设 ，
要证明 ，即证 ，
而 均大于 1 ，由 在 上单调递增知，
只需证明 .
由 得 ， , 则
设函数 ，
则 ，
所以，当 时， ， 在 上单调递减，
故此时 ，于是 ，得证.
证法2
根据（I）的结果，不妨设 ，
要证明 ，即证 ，而 均大于 1 ，
由 在 上单调递减，
故只需要证 ，
而 ，
即证 , 即
由证法 1 知该式成立，得证.
证法 3
根据（I）的结果，
不妨设
即 ，
两式相减得:
.
假设 ，
则 0 ,
则 ,
即 ，
两边同时取对数得， , 即
而由对数平均不等式知，
三、反思
1.罗增儒教授从几十年的解题实践中总结了学会解题的四步骤程式：
简单模仿——变式联系——自发领悟一一自觉分析.
并指出，当前的重点是加强第四阶段的教学与研究.
2.当我们看到一个数学问题之后，不应该仅仅停留或满足于解决该问题，
而应该以该问题为支撑尽可能地发散与探究：
首先可进行有效的联想，有时不妨去翻翻历史，
检索一番，在前人经验的基础上，自己再尝试去做一做（解答或证明)，
变一变（变式训练等），
拓一拓（对问题进行改进、加强、推广等)，
研一研（深入挖掘问题的本质）.
这样下来，每一个数学问题才会显得丰满和立体.
于无形之中将隐性的解题经验显性化、算法化.
3."不积跬步，无以至千里，不积小流，无以至江海"，
加强对典型例题、习题的自觉分析，形成习惯，
是快速适应全国卷并取得成效的一条有效途径.
