题老法不老, 思想永流传（数形结合+分离变量+根的分布，1989年全国高考压轴题）
一、题目
（1989 年全国高考第 24 题）
已知 是定义在区间 上以 2 为周期的函数,
对, 用 表示区间,
已知当 时.
(1) 求 在 上的解析表达式;
(2) 对自然数, 求集合：
使方程 在 上取两个不相等的实数根.
二、解法
分析：本题是1989年全国高考理科压轴题，
考查函数的周期性、解析式、零点等知识点，
解决问题的视角很多，可以从方程、函数、不等式等角度进行解题.
第（1）问较简单，分析如下：
是 的周期，
当 时， 也是 的周期，
又 当 时,,
,
即对, 当 时,.
以下重点研究第（2）问：
解法1：数形结合
(2)（转化为求直线 斜率 的取值范围）
方程, 即 有两个不等实根,
.
令,
如图所示, 在同一坐标系中分别作出 的图像,
的图像是过原点, 斜率为 的直线,
方程有两个不等实根的充要条件是两图像有两个不同交点,
由图可知, 当 时两图像有两个不同交点.
从而，原方程有两个不等实根时，
【点评】将方程问题转化为函数图像交点问题, 这是解决方程根的问题常用方法, 体现转化与化归的思想.
解法2：代数推理
解：（2）当 且 时，
利用（1）的结论可得方程,
整理得 :.
它的判别式是.
上述方程在区间 上恰有两个不相等的实根的
充要条件是 a 满足
化简得
由①知, 或.
当 时：因 ，
故从②，③
可得, 即
,
即
即
当 时:,
易知 无解，
综上所述， 应满足 故所求集合
【点评】由于是二次方程，可以利用求根公式及判别式列出不等式，思路较为直接，但需要解无理不等式，还需要对 进行分类讨论，体现方程思想和分类讨论的数学思想.
解法3：分离变量转化函数模型
解：(2),
令,
作这两个函数的图像如图所示，
图像有两个不同交点的充要条件是：
，
即.
.
【点评】分离方程中的参数, 由二次方程根的问题转化为对号函数与直线 的交点问题，从而转换了函数模型.
解法4：转化成二次函数根的分布
解：令,
则问题转化为 的图像在区间 上
与 x 轴有两个不同的交点（如下图所示）.
其充要条件是
解得,
【点评】这个做法体现了三个二次之间的密切联系，更是体现了转化与化归的思想.
三、反思
1.本题考查了函数零点问题，从不同的视角可以有不同的解法，
但数学中数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归是高中数学根本大法，
题目虽然很古老（这是本人当年的高考压轴题），但思想方法始终历久弥新！
这正是我们同学应该真正把握的内容！
2.题目永远做不完，但是题目背后的思想方法就是那些，永远不变.
3.正所谓：题老法不老，思想永流传.
