由米勒问题改编得最漂亮的高考题（2010年江苏高考第17题）
一、课本题根
★题目呈现 (人教版数学老教材）
如图 , 树顶 离地面 , 树上另一点 离地面 ,
在离地面的 处看此树, 离此树多远时视角最大?
二、背景探讨
题目的本质：
一个角的一边上有固定两点，另一边上有一动点,
求以动点为顶点, 动点与两固定点为边形成角度的最大值.
它源于一个著名的数学问题，米勒问题：
米勒问题在德国数学家米勒的家乡哥尼斯堡
又称雷奇奥莫塔努斯极大值问题，
是载入世界数学史的第一个极值问题.
★米勒问题:
如图 , 点 N
是锐角 的一边 上的两点, 试在 边上找一点 , 使得 最大.
解: 过N
点 即为所求点.
证明如下:
证明：在射线 上任取异于点的点,
连接 与圆 相交于点.
, 即得证.
注：为了便于下文的叙述，
★我们将上述作图解决米勒问题的描述称之为米勒定理.
三、高考真题及解答
（2010 年江苏理科第 17 题）
某兴趣小组测量电视塔 的高度 (单位 m ),
如示意图, 垂直放置的标杆 高度,
仰角.
(1) 该小组已经测得一组 的值，
，
请据此算出 的值;
(2) 该小组分析若干测得的数据后，
发现适当调整标杆到电视塔的距离 (单位 m, 使 与 之差较大,
可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为 125 m ，
问 为多少时, 最大.
解: (1).
（2）
解法1：基本不等式（命题组标准答案 ）
由题意知：,
因为
所以 则.
当且仅当 时，
即 时 最大，
因为, 所以 也取最大值.
故 时， 取最大值.
解法2：米勒问题1
（II）（米勒定理法）
设 ，
由米勒问题知，当且仅当 时,
取值最大, 即.
由 得.
联立上面两式，解得，
所以, 时, 取最大值.
解法3：做辅助线转化为基本的米勒问题
解：在线段 上取点 ，使 ，
连接 （如图），
于是四边形 为平行四形，
由于 为 的外角，
由米勒问题，
我们知道当 时，
最大，即 最大.
于是当 时， 最大.
