数量积+重心的向量形式+正弦定理+余弦定理+等积法+费马点+到角公式+四点共圆（一道 2020 清华大学强基计划试题的多解)
一、题目
（2020 年清华大学强基计划试题）
在 中, ，
，则以下说法正确的是（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
二、解法
首先，本题正确选项为（A）（B）（C）（D）,
(一)（A）、（B）选项的正确性，有以下两种证法：
证法 1 ：数量积
因为,
所以.
两边平方得,
所以,
从而,
同理.
证法 2 ：重心的向量形式
设,
,
则.
从而点 是 的重心,
因为,
所以点 是 的外心,
则 是正三角形，且点 是 的中心，
那么 ，.
实际上，点是
2.（C）、（D）选项的正确性，有给出以下三种思路七种证法：
二、解法
证法1 :正弦定理
设,
则.
在 中，据正弦定理有,
即,
图1
所以.
在 中, 据正弦定理有
,
即,
所以,
所以,
即,
代入 得：
.
从而.
在 中,,
即,
所以,
在 中,,
即,
所以.
证法 2：余弦定理+等积法
设 ，
则据余弦定理知：
,
,
.
图2 (3) - (1), 得
.
(3) - (2)，得
.
因为,
所以.
得,
所以.
解得：
,
将上式与(1)联立得, 从而.
证法3：建系+到角公式
以点 为原点、以射线 为 轴正半轴、以射线 为 轴正半轴
建立平面直角坐标系，
则,, 设.
图 3
.
因为
,
所以.
因为
,
所以.
整理得:,
联立，得,
所以,
从而.
证法4：运用费马点的知识证明
据 可知，
点 是 的费马点.
若分别以为边向 外部作等边三角形，
则由费马点的知识可知：
三点共线;
, 四点共圆.
因为,
,
所以.
所以.
同理可证,
所以.
证法5：四点共圆+相似三角形
因为 四点共圆，
所以,
且,
所以,
所以,
同理可证,
所以.
三、反思
1.选项很容易就能判断是正确的，
这来自于物理学科中的力的合成的一个问题：
平面内，三个大小相同的力，作用点相同，则这三个力两两成角为
2.选项的证明，用相似三角形最快，方法很普通，
不知道费马点的背景也没事，初中生可用.
解释如下：
如图，可设,则，
则,，
显然,
则有，
证毕.
3.有的同学，建系来做，设,
利用张角为的点的轨迹为圆，
写出左边的圆，和下边的圆的方程，
实际上，左边的圆，是为边的等边三角形的外接圆，
下边的圆，是为边的等边三角形的外接圆，
这也是费马点的定义之一，
三边向外的等边三角形的外接圆相交于一点，
这个点就是费马点.
它们的方程都很好写，不再赘述.
4.若进一步知道费马点的这个性质（如下图）点的坐标就更好求了，
这个题目也给告诉我们，竞赛生参加强基计划考试，优势非常明显.
