“三点控制”+分类讨论+数形结合+配凑法（以“切比雪夫最佳逼近直线”为背景的2024届宁波一模第8题）
一、题目
（2024 届浙江省宁波一模第8题）
已知函数 ，
若不等式 在 上恒成立，
则满足要求的有序数对 有（ ）
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 无数个
分析 此题是含双参数的不等式恒成立问题，难点一是如何讨论函数中的两个参数；二是如何处理不等式中的绝对值.
二、解法
解法 1 :"三点控制"
由于 是二次函数，结合二次函数的图象，
不难知道，只要区间两端点和区间中点的函数值满足不等式即可，
也即 同时成立, 所以：
①,
②,
③.
由 ①②得,
由②③得,
所以. 分别代入
①②③得,,
所以 .
经检验, 当 时,
不等式 在 上恒成立.
故选 B.
解法 2 :分类讨论
解： 不等式 在 上恒成立,
所以,
则 .
的图象的对称轴为.
(1)当, 即 时,
在上单调递增，
,
,
，.
联立得 ，这与前提 矛盾，
也即此时不存在符合题意的数对 .
(2) 当, 即 时,
,
,
解得,
所以, 进而解得.
(3)当, 即 时,
,
，
解得 ，这与前提 矛盾,
此时不存在符合题意的数对 .
(4) 当, 即 时,
在上单调递减，
,
.
联立得 ，这与前提 矛盾，
也即此时不存在符合题意的数对.
综上， .故选 B.
解法 3 :数形结合
解： ，
结合图形可知，在时，
直线 需要夹在曲线与 之间.
记点 ，如下图：
过点 和点 的直线 正好与曲线 相切，
在区间 上，且除切点之外直线恒在曲线 上方；
在区间上，除 两点之外，直线恒在曲线 2 下方.
所以满足条件的直线有且只有一条 ，
即 .故选 B.
解法 4 :配凑法 + 数形结合
解：不等式 在 上恒成立，
可以等价转化为两个函数的纵向高度差的绝对值.
不等式可配凑为 ，
令 .
不等式 等价于 ，
将 配成区间上的平口单峰函数，
只需令，即 ，此时直线
到直线与直线 的距离相等.
如下图所示：
所以,所以 .
故选 B.
三、反思
1.此题的背景是：切比雪夫最佳逼近直线，以此为背景的高考题和模拟题经常出现.
2.对高中生来说，也算是新定义问题.
3.所谓新定义试题，是指通过定义新概念，
或约定新运算，或给出新性质、新模型等
创设一种全新的问题情境的试题.
4.新定义问题能考查考生独立提取信息、加工信息的能力，
要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键信息，
实现信息的转化与表达，达到灵活解题的目的.
5.求解此类问题通常分三大步骤进行：
（1）对新定义进行信息提取，确定化归方向；
（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；
（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效地输出.
其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点.
需要依靠广泛地阅读数学专业书籍文献、
加强对数学概念的理解与建构、重视数学思想的培养、提高思维品质，
有针对性地训练等措施加以突破.
