三倍角公式+余弦定理+目标引领（再谈无锡市高三期中测试第 17 题）
一、题目
在 中, 已知 .
(1) 若 为锐角三角形,
求角 的值, 并求 的取值范围;
(2) 若 , 线段 的中垂线交边 于点 ,
且 , 求 的值.
二、解法
答题情况分析：问题（2）前面已经讨论了本题的几种做法，
从学生临场答题情况来看，有很多同学使用余弦定理，
思路自然，解法常规，但没有解出答案.
关键步骤突破不了，形成了思维和运算的堵点.
下面我们来看万唐同学提供的解题过程:
解: 设 ,
在 和 中使用余弦定理可得
消去 得 ,
代入化简得 ,
当 时, 可得 不合题意, 舍去;
当 时,
将 代入得 :
,
由三倍角公式得 ,
因为线段 的中垂线交边 于点 ,
所以 A 为锐角,
则 ,
所以 或 （舍去）,
所以 .
下面我们再换一个角度，
在方程组
中消去 得:
,
代回方程组可得 ,
当 时, 同样可得 不合题意, 舍去;
当 时,
将 即 代入得:
,
则由三倍角公式得 ,
因为 ,
所以 或 ,
所以 或 ,
当 时, ,
此时 ,
则 , 不合题意舍去,
故 .
三、反思:
1.阅卷中发现很多学生使用余弦定理，说明这样的思路是自然的，
但大多数学生不能顺利解出 A ，
其主要原因是不会解关于 的二元二次方程组.
2.很多同学在得出关于 或 的三次方程后不会使用三倍角公式，
也不会解三次方程，导致解题失败，
因此顺利解题还需要学生要有丰厚的知识储备.
3.本题的解题目标引领显得非常重要，
首先方程组的消元是考虑消去 ，还是 呢？
由于 m 与有直接关系 ,
因此目标应该去 n 得出关于 m 的方程,
但是得出关于 m的方程后并不是直接去解 m 的值，
而是转化成 A 的方程,这里又使用了目标换元的思想方法.
4.上面解法 2 的解难以取舍，
从 A 的范围是无法舍去 ，
还需解出 CD 利用原始条件做出取舍.
5.从本题的多种解法来看，
上一期提供的两种方法是使用正弦定理直接建构 A 的方程求解，
或者利用平面几何的方法（数形结合）非常直观，
本期提供的方法思路自然，但对学生的能力要求更高.
