错位相减+切线放缩+构造数列+作差、作商比较法+把握大趋势、雕琢小细节(2024年秋季无锡市高三期中考试19题压轴题的多种解法)
一、题目
19.(本小题满分 17 分)
在下面 行、 列 的表格内填数：
第一列所填各数自上而下构成首项为 1 , 公差为 2 的等差数列 ；
第一行所填各数自左向右构成首项为 1 ，公比为 2 的等比数列 ；
其余空格按照 "任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和"的规则填写.
设第 2 行的数自左向右依次记为 .
(1) 求数列 通项公式:
(2) 对任意的 , 将数列 中
落入区间 内项的个数记为 ,
①求 和 的值;
② 设数列 的前 项和 ；
是否存在 ，使得 ，
若存在，求出所有 的值, 若不存在, 请说明理由.
二、解答
研究重点放在最后一问.
解：
(1) 由题设和第 (1) 问得 为 , 所以 ;
因为 时, 满足条件的数构成：
以 为首项, 为末项, 公差为 2 的等差数列，
所以可得 ；
(2)当 时, 在区间中有 1 和 3 两项,
当 时, 在区间 中的项为：
.
共有 项,
综上: 时, ；
当 时,
所以当 时,
.
当 时,
其中
设,
以下使用错位相减法：
两式相减可得：
所以 ,
即 .
将 代入适合, 综上.
假设存在 ，使得 ，
以下对第②问提供多种方法，多角度分析：
解法1：参考答案给出的方法（比较曲折）
当 时, 不符合;
当 时, 不符合;
当 时, 不符合;
当 时 符合;
当 时,
判断 是否有正整数解,
等价于判断 是否有正整数解,
观察等式的右边，应该是越增越快的，
可适当缩小，使其更简单，便于研究：
,
观察等式的左边，也是递增的，但是增长速度没有右边厉害，
可适当放大，使其形式更简单，便于研究：
当 时,
可以考虑将右边进一步缩小，但是形式要进一步简化：
因为 ,
所以 ，
再将指数函数进一步缩小为一次函数，就是常用的切线放缩了：
设 ,
对于 恒成立,
,
恒成立
所以 有唯一解 .
解法2：构造数列，研究单调性
近期事情多，没时间转成latex，先把图贴上，以后有空再转
这是李雨瞳记录的，好像是何炳佺的方法，好几天了，记不清楚了，
记忆力明显衰退.
解法3：构造数列+做商比较大小
好像是我自己写的，实际上这几个方法都是大同小异，
把握大趋势，雕琢小细节，就够了.
解法4：放缩+构造数列
此法，将系数缩小为相同，损失一部分数值，换取形式相同，便于研究.
陈志胤同学也用的是这种方法，只不过细节上稍微有点区别，
他是单独分出一个正数：,其实也是放缩.
解法5：分成两块比较
三、反思
1.同学们的思维非常活跃，在讨论展示的过程中，我们一起明晰了这类题的处理办法：
把握大趋势，雕琢小细节.
或者说叫做：大胆放缩，小心求证，耐心穷举.
2.在比较大小的时候，善于使用作差法，作商法等基本方法，能把道理说得非常浅显、清晰.
3.把正整数问题连续化，构造函数，进而通过求导研究函数的单调性，来解决这类问题，
也很有效果，但是可能会增加解答过程的复杂性，参考答案的方法就是例证.
