端点效应+连续函数的保号性+零点存在定理+切线放缩+分离参数+凹凸性（2023年全国甲卷文科第20题）
一、题目
（2023 年全国甲 卷文科第 20 题）
已知函数 .
（1）当 时,讨论 的单调性；
（2）若 ，求 的取值范围.
二、解法
解：第（1）问的解法
当 时, ,,
,
因为 ,所以 ,
所以 , 因此 在 上单调递减.
第（2）问的证明
解法1:端点效应
设 ,
则 在 上恒成立. 因为 ,
所以 在 上恒成立,
由端点效应可得 .
因为 ，所以 ,
下证充分性:
当 时, 因为 , 所以 1,
，
故 在 上单调递减， ，满足题意.
综上， 的取值范围为 .
解法2:连续函数保号性
设 ,
则 在 上恒成立,
.
当 时，由解法1的充分性可知，满足题意.
当 时, .
由于函数 在 上连续,
因此存在 , 且 ,
使得当 时, , 函数 在 上单调递增，
，不满足题意，舍去.
综上, 的取值范围为 .
解法3:零点存在定理
设 ,
则 在 上恒成立,
,
令 .
当 时, ，
因此 在 上单调递减.
因为 ,
所以存在唯一的 , 使得 .
当 时, ，即 ,
在 上单调递增,
所以 ，不满足题意.
当 时, 因为 ,
所以 , ,
因此 ，满足题意.
综上, 的取值范围为 .
解法4:切线放缩法
设 ,
则 在 上恒成立,
.
当 时, 因为 ,
所以 , ,
因此 ，满足题意.
当 时，设 ，
因为 , 所以 在 上
单调递增, , 因此 ,
所以 .
取 ，满足 ，
则 , 与已知矛盾, 舍去.
综上, 的取值范围为 .
解法5: 分离参数
设 ，
则 在 上恒成立,
因此 ,
即 在 上恒成立.
令 ,
则
.
令 .
因为 ,
所以 .
因此 在 上单调递增,
, 所以 , 故 在 上单调递增,
因此
，
故 ，因此， 的取值范围为 .
解法6:凹凸性
由题意得 在 上恒成立，
设 ,
则 ,
因此 为 上的凹函数, ,
所以 在点 的切线方程为 , 此时对应 ，
由 的凹凸性与切线斜率的几何意义可得 .
综上， 的取值范围为 .
三.反思
1.2023 年甲卷这道高考题，将三角函数、导数紧密联系起来，
是一道非常精彩的压轴题，难度较大，创新性极高, 真正起到了高校选拔性考试的作用.
2.通过多种视角探究问题，培养学生的发散思维能力和创新精神，
提高学生的解题能力，培养和发展学生的逻辑推理、数学运算等核心素养.
3.用高观点来指导高中数学的教学是很有必要的, 高等数学与高中数学的有机结合，将问题化难为易。很多问题只有在高观点下才能理解得更深刻，才能探索出数学问题的本质.
pdf在下方，需要的自取.
