类比+无穷递缩等比数列+循环小数的化简（2024年秋季无锡高三期中第 14 题）
一、题目
任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；
反之，任一有限小数或无限循环小数也可以化为 的形式，从而是有理数.
则 (写成的形式, 与为互质的具体正整数);
若 , 构成了数列 ,
设数列 ,
求数列 的前项和 .
二、解法
作为填空题的压轴题，学生做的不理想，
下面总结三种不同的解法，三种解法相对应三种不同的思考问题的方式和角度.
解法 1. 利用已有的知识结构，类比、联想解决相类似的问题 (波利亚解题表).
由数列 的通项公式为 得：
数列 的通项公式为,
从而数列 的通项公式为
, 下面代入裂项求和即可.
法 2：无穷递缩等比数列的前项和极限
解：
(利用无穷递减的等比数列求和公式)
同样的： 的通项公式为：
求和同上.
法 3 ：循环小数的化简（小学奥数题，构造方程求解）
解：令 , 则
三、反思
1.思考：如果是多位循环，可否解决？
2.猜测命题者考察的本意应该是解法2.
