正弦定理+余弦定理+数形结合+根的分布+主元思想（一题讲透三角形解的个数问题@要把基本模型讲清楚、研究透）
一、题目
(多选题) (2023 - 海南省直辖县级单位 - 校联考二模)
在 中, 角 所对的边分别为：
,
若满足要求的 有且只有 1 个, 则 的取值可以是（）
A. 1
B.
C. 2
D. 3
二、解法
这是一道多选题，其实相当于填空题.
将此题信息翻译一下，容易得：
★
学生最容易想到的方法是，教材中给的探究拓展材料：
苏教版（2019）必修第二册P95，探究拓展11题（阅读题）
此法用数形结合思想研究三角形解的个数问题，
形成特定的研究模型，让大家印象深刻，且容易记忆操作，
但是有的同学使用这个模型的时候，
遇到新问题时，变通的意识不足，容易陷入僵局.
实际上，只要把这个模型的要素记清楚，
操作的流程弄明白，胆大心细，此模型的威力还是很大的.
以此题为例，提供两种思考的方式：
解法1：三角形解的个数模型1
此模型中有一个固定的,
作图如下：
可以看到：让点在射线上运动，
点是以为圆心，为半径的圆（绿色）
同时，点还在射线上，
此问题转化为圆与射线交点个数问题.
我们从临界态出发研究.
当恰与射线相切的时候，
此时满足要求的 有且只有 1 个,
此时的值为2.
（1）若将向上移动，即时，
满足要求的 为0个，不符合题意；
这个很显然，就不作图了，作图很累.
（2）若将向下移动，即时，
满足要求的 为2个，不符合题意.
如下图所示：
继续向下移动，直到第二个临界态的到来，
此时,满足要求的 为1个，符合题意.
图片如下：
继续向下移动，即时,满足要求的 为1个，符合题意.
图片如下：
整个过程动图如下：
综上：解得 或.
选择.
解法2：三角形解的个数模型2
学生在初中就熟悉另外一个模型：
★定圆中，弦长为定值的弦所对的圆周角为定值.
此题中：
，由余弦定理知：
的外接圆半径为2.
将边固定，因对称性，只要考虑上方的圆弧即可.
如下图所示：
连接与交于点,
显然，当点与重合，即时，
的解只有1个，
以此为临界态，将点向上移动，此时比2略小，
的解有2个，
两组解对应的点恰好关于对称，
继续移动，当与点重合，来到圆弧的正上方时，
的解只有1个，如下图：
继续移动，的解仍然只有1个，如下图：
综上：解得 或.
选择.
动图如下：
解法3：正弦定理
由正弦定理知：
,
变形可得：
,
此方程中，应把作为自变量，
要求只有一个解，
作图如下：
显然，与图中蓝色部分不能相交，
则.
选择.
解法4：余弦定理
由余弦定理知：
,代入整理得：
,
应该将此方程视为以为主元的一元二次方程，
只有一个正根，是根的分布问题，
根据图象，容易得：
时是可以的，
时也是可以的.
综上：解得 或.
选择.
三、反思
1.这个问题，只要认真细致分析，就一定能搞清楚；
2.大多数同学喜欢解法1和2，因为是用几何模型解题，
哪有不喜欢数形结合的.
3.个人认为，解法3和4，更应该掌握，用的是基本的正弦定理和余弦定理，
同时需要有主元思想，函数方程思想,更重要.
4.这个小问题，花了接近两个小时，时间成本很大了，
但是还是有收获的，以后再讲这个问题，就很流畅，丝滑了.
5.pdf放在下方，需要的自取.
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