分离参数法+整体换元+基本不等式+待定系数法+极限思想+必要性开路（2020 年北京大学强基计划数学试题第 9 题)
一、题目
（2020 年北京大学强基计划数学试题第 9 题)
使得 对所有正实数 都成立的实数 的最小值为（）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 前三个答案都不对
二、解法
解法 1： 分离参数法 +比例换元+基本不等式
由于, 分离参数，
得.
进一步得.
换元，令 ，转化为关于 的不等式
再用基本不等式法或求导法,
求出函数 的最大值为 9 ,
也就是 的最小值为 9. 故选 B.
解法2：分离参数法+整体换元+基本不等式
前面同解法1，换元，令, 显然, 转化为关于 的不等式
当且仅当 时等号成立, 即,
因而的最小值为 9 . 故选.
解法 2 比解法 1 简单, 但不如下面的解法简捷.
解法 3 ：待定系数法+基本不等式
引入待定常数, 根据基本不等式，得
.
令, 可得.
因而.
当且仅当 时等号成立，
即.
故 的最小值为 9 .
选 B.
解法 4 :极限思想+必要性开路
由于题给不等式对任意正数 恒成立,
利用极限方法, 令, 得.
又, 所以.
将题给不等式变形，得
两边同除 ，分离出常数 12 ，
问题就转化为不等式
对任意正数 恒成立,求 的最小值.
由于,
当且仅当 时等号成立.
所以 的 最小值为.
故实数 应满足的条件为 ，
解得.
所以 的最小值为 9. 故选 B.
三、反思
1.解法1和2最为常规，分离参数，比例换元，基本不等式等，都是常规手段，思路比较自然；
2.解法3使用的是基本不等式，但需要用待定系数确定如何放缩，有一定技巧性，但是效率较高，且纸质本质；
3.解法4有不太常规，为了配出互为倒数的结构，需要分参，为了分参，又需要先限制参数的取值范围，为了限制范围，就得采用必要性探路的办法，用极限思想，也是必要性探路的很好思路.
