由课本一个习题得到的抛物线的一个性质及拓展与应用
一、课本习题
（人教版高中实验教科书选择性必修第一册 第 9 题)
若过抛物线 的焦点 的一条直线交抛物线于 两点,
则 , .
二、推广及证明
经过研究，此习题结论可推广成为抛物线的一个性质：
若直线过抛物线对称轴上一个定点，则直线与抛物线两交点的横（纵）坐标之积为定值.
若直线 过点 交抛物线 于 两点，
则 .
证明：
由抛物线方程 ，得焦点 .
由题意可知过定点的直线的斜率不为零，可设直线方程为 ，
代入 消去 整理得 ，所以 ，
由抛物线方程，
得
三、拓展
若直线 交抛物线 于 , 两点,
且 , 则直线 过抛物线的焦点.
若直线 交抛物线 于 , 两点，且 ，
则直线 过抛物线的焦点.
若直线 过点 交抛物线 于 两点,
则 , .
若直线 交抛物线 于 , 两点,
且 , 则直线 过定点 .
四、应用
例1 过原点且相互垂直的两条直线分别交抛物线 于 两点
均不与坐标原点 重合),则抛物线的焦点 到直线 的最大距离为?
解析 由 得 , 焦点 .
设 , 则 ,
所以 . ,
所以 ,
所以直线 恒过点 , 2),
所以抛物线的焦点 到直线 的最大距离为 ，
故所求最大距离为 .
例2（2022年全国高考甲卷）
设抛物线 的焦点为 , 点 ,
过点 的直线交 于 两点.
当直线 垂直于 轴时， .
解答略.
