一题多解过了头就是装？2018 年江苏高考数学第 13 题的13种解法.
一、题目
★在 中, 角 所对的边分别为 ,
的角平分线交 于点 ,
且 , 则 的最小值为?
二、解法
思路一： 正弦定理 整体转化
观察图形特征，试题为一个大三角形分割成两个小三角形的几何模型，两个小三角形有公共边，且有互补的角（正弦值相同），故可考虑在两个小三角形中运用正弦定理.
解法1 :正弦定理+等积法
设 (图1),
则
.
观察式子结构，联想到三角形面积公式，
由等面积法可得:
,
所以,
故
(等号成立当且仅当 ). 因此,最小值为 9 .
★反思 解题时容易想到正弦定理，但要观察出式子整体与三角形面积的关系却是不易的.
整体思想是非常重要的思想方法，学生在函数模块训练得比较扎实，但迁移到其他模块时并非理想.
思路二： 整体面积 巧妙拆解
解法 1 的关键在于等面积法，我们对此进行优化，
改变面积的计算方式，就可以得到以下解法：
解法2 :三角形面积公式+等积法
注意到 ，
从而有 .
因此有 .下同解法 1 .
★反思 事实上，等面积法是"算两次"思想方法的一个特例，
三角形的面积用两种不同的方式计算.
要想到从面积角度切入有一定的难度，这要求学生具有较高的数学素养.
★链接：张角定理
事实上，此法的第一步 就是张角定理的证明过程，
如果知道张角定理的具体内容，
就可以直接得到 ,
从而问题得以快速解决.
思路三： 余弦定理 两次算边
能想到正弦定理，那自然也应该想到余弦定理.
首先对两个小三角形运用余弦定理，计算 的长度，
从而可以得到 为两段之和.而 的长度也可以在大三角形内运用余弦定理计算.
解法 3:余弦定理+算两次
在 中运用余弦定理可知:
1, .
因此有.
两边平方, 并移项可得:
2.
两边再平方，并化简，可得:
，
所以 .下同解法1.
★反思 此法也是"算两次"的思想方法的运用，
即用两种不同的方式计算 的长度.
学生往往能够想到余弦定理，但难点就在于等式的化简，
这要求学生具备良好的数学运算能力和推理能力.
思路四：余弦平分 双管齐下
在解法 3 中，运用余弦定理可以得到 ， 的长度，
而注意到 的比值恰好是角
平分线定理所表达的等式中的一部分，故可以借助角平分线定理优化解法.
解法 4:余弦定理+角平分线定理
在 和 中运用余弦定理可知 :
.
再用角平分线定理，有 :
.
所以 或 .
注意到 时，易有 ，也符合 .
下同解法 1 .
★反思 此方法是解法 3 的优化，巧妙运用角平分线定理可以避免繁杂的计算.
学生容易想到余弦定理，但后面是否能选择角平分线定理优化解法
是区分学生数学素养强弱的一个试金石.
思路5： 平面建系 三点共线
建立平面直角坐标系，是将几何问题代数化的一个重要方法，
也是解决几何问题的一个重要方法.
适当建立坐标系，利用 三点共线，从而解决问题.
解法 5 :建系+三点共线
如图2建立平面直角 坐 标 系，
则有 ， .
注意到 三点共线, 因此:
，
可得 .下同解法 1 .
★反思 建立直角坐标系，几何问题代数化，是重要的思想方法，
通过几何关系的代数表示，解决几何问题.
很多学生也想到建立直角坐标系.
但建立坐标系后，没有考虑到三点共线，
而是计算相关的直线方程，这使得计算量大大增加.
思路6： 向量表示 两边取模
向量表示是解决几何问题的一种常用方法，
角平分线所在的向量可以用相应两边所在的向量线性表示，
而且表示方式也容易得到.写出等式，问题变得"豁然开朗".
解法 6 :角平分线的向量形式
注意到,
两边平方，可得 :
•,
所以.下同解法 1.
★反思 角平分线所在的向量 用该角所在的两边 对应的向量表示，
这是一个重要的几何模型.在平时的教学过程中，这一结论一般不作要求.
但其推导过程美不可言，值得反复回味.
聪明睿智，敢于挑战自我的你能尝试证明一下吗？
思路7： 三角表示 函数思想
求解最值问题的另一途径为寻找适当的变量，将目标函数转化为该变量的一元函数，
借助函数思想，求解最值问题.
解法 7：设角+三角函数定义
过点 作 的垂线，垂足分别为
设,则 ，
所以容易得到:.
注意到:
,
所以,
且当 时取得最小值 9.
★反思 适当设角，将目标函数用该角表示，转化成该角的函数，
运用函数思想求解最值问题.此法对运算和等式的变形、转化有较高的要求.
也可以用导数求解最值问题，但计算量较大，尽量避免.
思路8: 转移线段 三线归一
通过上述研究，可以知道本题旨在考查 ， 三者的关系，
如果将这三者转移到一起，便可解决问题.我们可将这三者转移到 边所在的高上.
解法 8 ：三线归一+正弦定理
设 边上的高为, 则有:
两式相减可得.
.
下同解法1.
★反思 利用 的三角函数，将 ， 全部转移到 边上的高 ，
建立等量关系，然后消去参数 就可以得到只含 的关系式.
本方法中，消参为难点.也可以考虑用 表示 ，
从而将目标函数 转化成关于 的函数，但运算量比较大.
通过添加辅助线、辅助圆等，寻找几何关系，
运用平面几何的知识可使计算大大简化.
不同的辅助方式可以得到不同的解法，
本文就选择具有代表性的三种，其他方法不再一一列出.
思路9：反向延长 构造等边
解法 9 ：构造等边+相似三角形
延长 于 ，使得
从而易得 是等边三角形，且 ，故 ，
所以 .
下同解法 1.
思路10： 构造菱形 观察边比
解法 10：构造菱形+相似三角形
过点作 ，
容易知道, 为菱形.
故.
下同解法1.
思路11： 补足隐圆 巧用定理
解法 11：构造外接圆+托勒密定理
作 的外接圆 ，延长 交 于 （图 6 ），
则由 可知 .
又 ，故 为等边三角形，
所以 .
注意到
.
所以 .
再对圆 的内接四边形 用托勒密定理，得:
.
下同解法 1.
★反思 适当利用几何图形中的平行、相似、四点共圆等性质，可以简化计算.
由于高中知识对平面几何的淡化，学生高中三年学习之后，这方面的能力往往会弱化.
思路12： 复数妙用 旋转有理
线段 可以看成线段 通过绕 点
旋转后再适当伸缩得到.
处理几何图形中的旋转问题，复数是一个非常好的工具.
解法 12:旋转变换+复数的乘法
设 对应的复数为 ，则 对应的复数为,
对应的复数为,
所以 对应的复数分别为.
由于, 三点共线可知, 存在实数,
使得,
从而有 1 .
即
两式相除，消去 ，可得 .
下同解法1.
★反思 运用复数的乘法，将图形中的旋转进行代数化.
此法要求熟悉复数乘法的几何意义，并能熟练地运用复数乘法，对几何图形进行旋转.
思路13： 大胆猜想 严谨证明
根据实际问题，大胆猜想也是数学研究的重要方法.
正确的猜想可以有效地解决问题，错误的猜想通过实际问题适当地调整，
也可以得到一些重要的信息.
解法 13 :梅涅劳斯定理+大胆猜想小心证明
由试题问题容易猜测 为定值（其中 为确定实数），注意到图形的对称性，容易猜测 ，即 为定值.
接下来我们证明这是定值.
如图 7 , 只要证明,
即.
注意到截线 截 于 三点,
故由梅涅劳斯定理可知.
注意到, 所以
,
从而结论成立. 所以根据特殊情况,
可得.以下同解法 1 .
★反思 此法要求较高，首先要对试题进行分析，结合经典问题得到猜想，
并且能对猜想进行严格证明.在证明定值的过程中，还需要有较高的知识储备，
熟悉经典定理.此法中寻求不变量也是解决数学问题的常用方法之一.
三、反思
1.此题甚好，知网上相关文章很多，《中学数学月刊》整理的这篇最为经典；
2.很多解法，是刻意为之，为了一题多解而多解，课堂上不宜过分追求；
3.学生会困惑，这么多方法，考试时应该用哪一种？我们要辩证来看，
考试时，每个人都会选取最为自然的那一种.
问题来了，最为自然的标准是什么？
★各人的情况不一样.但大致应符合以下标准：
（1）方法应是常见的，不甚怪异的；
（2）思路应是清晰的，不甚曲折的；
（3）计算应是简洁的，不甚繁琐的；
（4）情境应是熟悉的，不甚陌生的.
4.前几天，有一学生提了建议，不要讲那些过于装的方法，
貌似装逼很潇洒，实则都是抄来的.
看了后，颇觉汗颜，深以为戒.
真正是自己想出来的思路，自然的方法，熟悉的情境，
才能引发学生的共鸣,才有生命力.
5.装的最高境界就是不装，清水出芙蓉，天然去雕饰.
就好比，最大的套路其实是真诚，真诚就是最高级别的装.
好像跑题了.
6.聪明睿智，英明神武，敢于挑战的你，能排出你认为比较自然的解法吗？
按照从高到低的顺序，留言回复一下（至少选3个).
若和编者相同，会给一个小惊喜哦.
6.此篇pdf放到下方,需要的请自取.
