极值点偏移的创新考法(2024年无锡市高三年级第一学期期中考试第18题）
一、题目
18.(本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1) 若 , 不等式 恒成立,
求实数 的取值范围.
(2) 过点 可以作曲线 的两条切线,
切点分别为 .
①求实数 的取值范围;
②证明: 若 , 则 .
二、解法
解:
第（1）问，常规的含参恒成立问题，送分题，3分，
同时为第（2）做好铺垫.
(1) 由题意: 在 上恒成立 ,
令 , 则 得 .
所以当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减,
因此 .
所以 .
(2)
第（2）问的第①小问，切线问题+函数方程思想+零点存在定理，
考察基础知识、常用方法，基本数学思想，
很常规，却又很灵活，真是好题.
①由题意: 在点 处的切线为 ,
代入 得 ,
整理得 .
同理有 .
则 有两个不等的实数根，
记函数 ,
则 得到 .
所以当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增.
因为函数 有两个不同的零点，
故必有 ，
即 .
此时一方面 ；
另一方面，由 (1) 问知, ，
从而 ，
故 .
由零点存在定理知:
在区间 和 各存在一个零点.
综上： .
(2) 要证:
只要证:
利用 第①问中： 和 ，
这两个关系式将换掉：
只要证:
只要证:
注意配方，两边分别+3，可得：
只要证: .
因为 ,
只要证: ,
只要证:
因为 , 由第 ①问知 ,
又 在 上单调递增,
只要证:
只要证:
到此处，此题的真正面目才暴露出来，
原来还是老生常谈的“极值点偏移”问题.
解决方法，大家都很熟悉，参考答案提供的是构造对称.
令 .
则 ,
所以 单调递减, 故 .
从而 .
因为 , 所以 .
因为 在 单调递减
所以 , 即 .
得证.
三、反思
1.得出只要证: 这一步，至关重要.
2.有不少同学在这一步:
只需证
就构造函数，
要注意到，这个函数并不是单调的，
而是先减，后增的（过程略），
且注意到此函数为偶函数，
同样能得到,
亦即：.
3.目前没有想到更好的方法，请各位专家指教.
