平移基向量+逆用“等和线”+建系+三角换元（“等和线”相关的一道好题）
一、题目
在正方形 中, 为 的中点, 为以 为圆心,
为半径的圆弧上的任意一点,
设, 则 的最小值为？
二、解法
解法1：平移基向量+逆用等和线
如图 , 过点 作,
当点在圆弧上运动时, 以 为基向量的
值为的等和线 也跟着发生变化,
从而过点 的等和线也随之改变.
观察图可知, 当点 为 与圆弧交点时,, 记为;
当点 在圆弧 上时,;
当点 在圆弧 上时,.
所以当点 在点 处, 的值最大;
当点在点 处, 的值最小.
如图延长 和 交于点,
由平几知识易知点 为 中点,
所以此时. 因此, 的最小值为.
解法2：建系+三角换元+求导
解: 以 为原点, 以 所在的为 轴, 建立坐标系,
设正方形 的边长为 1 ,
则.
设.
再由向量
,
由题意得.
求得
,
故 在 上是增函数,
故当 时, 即,
这时 取最小值为,
故答案为:.
三、反思
1.本题加大了难度, 不仅需要将两个基向量中的一个平移至共起点，
而且当基向量的终点变化时, 使系数和 的等和线也跟随一起运动变化,
所以满足条件的等和线也保持相应的平行变化,
因此求解有一个变化的基底向量问题的关键在于探寻保持平行变化中满足条件的等和线位置.
2.此题的考察角度和普通等和线问题，条件和结论颠倒过来，
一般的问题是两个基向量确定，被表示的向量在变化，
的等和线固定，的等和线在移动.
而此题，反其道而行之：
被表示的向量是固定的，但是基向量中的一个却是变化的，
的等和线越往右边转动，的值越小，
请结合图像好好看看，画一画，此处就不做动图了，
思维的可视化也要适可而止，还是要提倡思考，想象，
给大家看动图，为的是思维的可视化，
但是最终目的却是引领思考的主体，能够在自己的大脑中构造动图，
能够自我思维可视化.
4.其实使用“等和线”的操作流程也很简单清晰：
（1）找到基向量；
（2）找到目标向量；
（3）搞清楚基向量带来的等和线和目标向量所在的等和线
的“距离比”.
4.此题要是考场上建系求导就惨了，运算量确实不小啊.
