阿波罗尼斯圆与曼哈顿正方形的碰撞（通州区2024-2025学年第一学期高二年级期中质量检测第10题（单选压轴题））
一、题目
10.如图：
空间直角坐标系 中,
点 ,
定义 .
正方体 的棱长为 ,
为棱 的中点, 平面 内两个动点 , ,
分别满足 ,
则 的取值范围是.
A.
B.
C.
D.
二、解法
解：根据正方体的特征易知：
平面 平面 ,
平面 ,
所以 ,
又 ,
则 ,
到此，动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，
以下求出这个圆的方程
如图建立平面直角坐标系 ,
设 ,则 ,
整理得 ,即 轨迹为平面 上的圆,
以 为圆心, 2 为半径;
因为 ,
根据曼哈顿距离的定义，可知：点的轨迹是曼哈顿正方形，
具体，可参考这两篇文章：
曼哈顿距离
此身此时此地，公众号：学习思考思考学习点到直线的曼哈顿距离公式+隐形曼哈顿正方形（一道很有意思的模考题）
则 轨迹为以 为中心,
一条对角线长为 4 且在纵轴上的正方形 ,
如上图所示,
,
易得 ,
过圆心 作 的垂线,
可知垂线方程为 ，
易得 上的垂足 ,
显然 在线段 上,
而 上的垂足 ,
显然 距 远,
则圆心到 的距离为：
,
圆心到 的距离
则 .
三、反思
1.立体几何中的动点轨迹问题，以阿氏圆为背景的问题不少，
但是把“曼哈顿距离”引入立体几何的，少见，这道题很有意思；
2.刚看到题目，是三维的曼哈顿距离，吓了一跳，
感觉动点轨迹得是三维的几何体了，
再看看，限定在平面 内了，还是二维的;
3.此题可以改一下：
去掉动点,
只有动点,轨迹仍为阿波罗尼斯圆，
求的取值范围，
这样更隐蔽，曼哈顿正方形动起来，就更好玩了!
动图如下：
曼哈顿正方形的方程为：
,
上面方程中的,就是正方形对角线的一半，
也就是线段的长度，也就是点的横坐标，
随着增大，曼哈顿正方形膨胀起来，
第一次相切的时候，取到最小值，
经计算，此时,
第二次相切的时候，取到最小值，
经计算，此时.
