点到直线的曼哈顿距离公式+隐形曼哈顿正方形（一道很有意思的模考题）
一、曼哈顿距离的定义
二维平面中的定义：
设 为平面上两点，
则定义 为 "直角距离" 、"折线距离" 或 "是哈顿距离" ,
记作 .
曼哈顿距离的几何意义：
如图，动点 到定点 的
曼哈顿距离为定值的轨迹是正方形 ， (注：对角线平行于坐标轴，点到点的是哈顿距离为正方形对角线长的一半)
二、点到直线的曼哈顿距离公式及推导
点到直线曼哈顿距离公式：
设点为直线 外一定点，为直线 上的动点，
则称点与点曼哈顿距离的最小值为点到直线的曼哈顿距离，公式为：
证明：
当 时，则有
在点 处取得最小值.
当 时，同理可得
综上
类似可得两条平行直线的曼哈顿距离公式：
设点 为直线 上的一动点，
点 为直线 上的动点，则
证明: 设 ，则 .
由 以上结论可得
三、一道例题
【2024河北省部分学校高三摸底考试T8】
"曼哈顿距离" 是十九世纪的赫尔显闵可夫斯基所创词汇，
定义如下: 在直角坐标平面上任意两 点
的曼哈顿距离为: .
已知点 在圆 ,
点 在直线 ,
则 的最小值为？
A.
B.
C.
D.
解法1：直接代公式
解：设 ，
则点 到直线 的曼哈顿距离最小值可由公式得
所以
解法2：隐形曼哈顿正方形
由曼哈顿距离的几何性质可知：
固定圆上的点,
则到点的曼哈顿距离为的点的轨迹是图中的红色正方形，
以下简称为曼哈顿正方形，
同时应注意到，此时的两点曼哈顿距离为,
红色正方形的边长为,
此时，让值变大，红色的曼哈顿正方形与蓝色的直线刚好有交点时，
此时取到最小值，
如下动图：
显然，接下来只要找到合适的点,
过点作平行线，与直线交于点,
使得最小即可，
显然，将直线向下方平移，与圆第一次相切时，切点就是我们要的点,
如下图：
之后的运算，都很常规，就不赘述了.
