两角和的余弦公式+正弦定理+余弦定理+三角形面积公式+和差化积公式（2017年全国Ⅰ卷第17题）
一、题目
的内角 的对边分别为,
已知 的面积为.
(1) 求;
(2) 若, 求 的周长.
二、解法
第（1）问
解法1：三角形面积公式+正弦定理
因 面积.
又，
则,
由正弦定理得,
由 得.
解法 2 三角形面积公式+正弦定理
由题意得,
所以
由正弦定理得：
即：
解法3：三角形面积公式+正弦定理
由题意得
所以
由正弦定理
得,
所以
第（2）问解答：
解法1：两角和的余弦公式+正弦定理+余弦定理
由（1）得 和
因为
所以
又,
所以
由余弦定理得
由正弦定理得：
故
得
所以,
即 周长为.
解法 2：两角和的余弦公式+正弦定理+余弦定理
由 (1) 得 和
则
所以,
所以, 故
由余弦定理得
即
所以 即
周长为.
解法 3 :同角三角函数关系+正弦定理+余弦定理
由 (1) 得 和
则
所以
由 得
由 得
因此
故
所以
.
解法 4 ：和差化积+正弦定理+余弦定理
由 (1) 得 和
则
所以,
又
因,
所以
由正弦定理可得
所以.
解法 5：两角和的余弦公式+余弦定理
由 (1) 得 和
则
所以, 由余弦定理得①
由 结合余弦定理可得
化简得②
由 ①和②式可得,
解得
所以
即
周长为.
三、反思
1.本题主要考查三角形面积公式的灵活转化，
三角形中隐性条件 的应用，
2.本题特别注重考察正弦定理的变式使用，
同时将正弦定理和余弦定理结合起来考察，
旨在考查学生的逻辑推理，数学运算等核心素养.
3.第（2）问的第1种解法，最自然.
