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重视基本功和基本思想才能静水流深、根深叶茂【2023年高考数学新高考卷I第20题的4种解法（罗增儒教授给出的）】
一、题目
★（2023年高考数学新高考卷I第20题）
设等差数列的公差为,且.
令,记分别为
数列的前项和.
(I) 若,
求的通项公式;
(II) 若为等差数列,且,求.
二、解法
第(I)问较简单，使用数列的基本量运算即可.过程略.
主要讨论第(II)问.
解法1:等差数列的通项公式是的一次函数
由为等差数列知,
，
应该是的一次函数（不可能为常数）,
故一次式分母应该含有
二次式分子中的一个因式,
得或，
进而,因为,得.
又由题目的另一条件，
及为等差数列，有
化简得,
即,
因式分解得.
因为,解得.
(i) 当时,,
将代人51,得.
(ii) 当时,,
将代入,得,
与矛盾,故舍去.
综上得.
解法2:非等价转化+数列的基本量运算
由已知及为等差数列,有
即,
化简得,
解得或.
(i) 当时,有且,
代入题目的另一条件,有
化简得,
即,
因式分解得.
因为,解得.
(ii) 当时,有且,
代入题目的另一条件,有
即,
得.
因为,所以此时无解.
综上得.
解法3:待定系数法+恒成立
由为等差数列,可设的公差为,
又由,有
展开得
,
比较对应项的系数,得
进而,
得或.
又由题目的另一条件,有
即,
得.
(i) 当时,有,
一起代入,有
化简得,
即.
因为,解得.
(ii) 当时,有,
一起代入,有
化简得,
即,
因为,所以此时无解.
综上得.
解法4:恒成立+待定系数法2
由为等差数列,可设的公差为
由,有
即,
得.
又由,有,即
展开得.
比较对应项的系数,得
进而,得;
或.
①把
代入得：
化简得,
即.
因为,解得.
②把
★代入得：
化简得 ,
即 ,
因为 , 所以此时无解.
综上得 .
三、反思
1.此题最好的解法，显然是解法2，
由为等差数列，推出，
进而计算出的首项和公差，
简洁明了，应是临场应试的首选.
2.由及为等差数列还可以有
也可解出或,
但运算量较大且容易出错,
是高考解题的"策略性错误".
★做题时要特别注意甄别题目的问法：
若已经告诉你为等差数列,则只需看第1,2,3项即可；
若问：是否存在等差数列使得为等差数列，
这样的问题，看第1,2,3项之后，还需代回证明，
或者采用式的做法.
3.这道题看似简单，但是在练习的过程中也暴露了很多问题，
需要清晰、细致地剖析，落实到位；
4.不同的解法是不同的视角带来，
不同的视角是数学思维的结果，
追根溯源，还是要对基本的数学思想方法深刻认知，
从根本上把握.
5.这四种方法是罗增儒教授给出来的，
罗教授认为：通过此题的解答，能感知到数学核心素养，
有利于渗透乃至生成数学建模、 数学运算、 逻辑推理等素养。
作为高考题， 则是有助于考查数学运算、 逻辑推理和数学建模等素养的水平.
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