零点存在定理+洛必达法则+换元法（一道很有意思的导数套路题，热身练第18题)
一、题目
（17 分）已知函数 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）若 存在两个极值点 ．
(i)求 的取值范围；
(ii) 证明: .
二、解法
此题的第（1）问和第（2）问的第(ii)小问比较简单，不需多说.
以下重点分析第第（2）问的第(i)小问.
解法1：参考答案的方法+零点存在定理+洛必达法则
由题意可得： 的定义域为 ，
且
，
设 ，
可知 在 内有两个变号零点，
则 ，
当 ；
当 时， ；
可知 在 上单调递减，
在 上单调递增，
则 的最小值为 ，
且当 趋近于 时， 趋近于 ，
当 时，
则 ，
可得 ，
可得 ，
即当 趋近于 时， 趋近于 ，
可得 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
★备注：此法是参考答案给的解法.
有几处需特别注意，
第一，将原题划归为：
，
在 内有两个变号零点，
这一处理很有意思，实践证明，临场应试，确实是采用这种方法的学生比例最大.
第二，如果苛刻点来看，此法在使用零点存在定理的时候，
用取极限代替取点，且两边都是取极限，
每处扣1分，没有任何问题.
所以批改的时候，此问共6分，大致作对的，给5分.
若要得满分，需要细致地构造取点的方法，
耗时费力，得不偿失，我们平时和学生约定，时间不够，极限来凑，即可，
摒弃细枝末节，把握宏观大势，得到关键分数，就是王道，
个人觉得，这样无可厚非.
实际上，就是在取极限的时候，’
参考答案的方法都显得过于粗略了.
比如： ，
太过草率，
实际上：有洛必达法则知：
,
即可得：.
解法2:
原题等价划归为：有两个变号零点,
不做变形，继续求导，可得：,
注意到定义域为,讨论标准很清晰：
第一种情况：当时，
显然有,
即,在定义域内单调，不可能有两个变号零点，舍掉；
第二种情况：时，
显然时，,单调递减；
时，,单调递增；
若有两个变号零点，则必然有,
这样可以解得：,
至于使用零点存在定理的问题，和解法1的情况一样.
解法3：换元法+零点存在定理
临场应试中，也有不少同学使用了换元法，简化了计算，确实是很好的选择;
原题等价划归为：有两个变号零点,
然后令,则原问题可继续划归为：
在上有两个变号根，
这个问题，极其弱智了，没啥障碍，
当然，使用零点存在定理的问题依然存在，
不许纠结，大行不顾细谨，大礼不辞小让，
不纠结一城一地之得失，得到绝大部分的分数，
已经ok.
三、反思
1.阅卷过程中发现，能把此题写得滴水不漏的，稀少，但是有大局意识，能把握大趋势的，很多；
2.原理说清楚，趋势把握住，足矣，不需贪心，贪心是精进道路上的最大敌人.
3.明天继续研究数列新定义问题.
