数形结合+三次函数对称性+三点控制+切比雪夫最佳逼近直线
一、题目
已知,
对任意 , 总存在 , 使得 ,
求实数的最大值.
二、解法
第一步：将题目等价划归为容易理解的形式
（1）显然，当时，是恒成立的，
更是能成立的；
（2）要求的最大值，显然，这个最大值是正数；
（3）按题意 ,
从而
以上的表达较抽象，转化一下，也就是说：
此题要求的就是在上的最大值的最小值；
第二步：给出3种解法
解法一：数形结合+三次函数对称性
从形的角度来说:
就是要将
这个函数图像最窄的部分调整到内，
以便让其最大值取到最小.
以下研究函数：
此函数图像的对称中心为：,
★如何快速求三次函数的对称中心:
三次函数图像的对称中心横坐标恰是的根,
也就是拐点.
（请注意，此处的参数所起到的作用只是上下，左右平移,
此三次函数图像的开口大小已经确定了），
若要达到目标，应将对称中心平移至轴上，即,
代入运算可得:,
此时已经能保证极大值和极小值互为相反数，
只需要让，即可解得：.
由上图，容易得到的最大值此时取到最小值，
即实数的最大值为2.
解法2：三点控制法
解：按题意 , 从而
记①式中的内层最值为, 一方面, 由
可得
则 , 从而 .
另一方面, 取 ,
有 , 所以 .
由 ②和③, 得 , 即求得 (1) 的结果为
由 ① 得 , 则 的取值范围是 .
解法3：切比雪夫最佳逼近直线
根据切比雪夫最佳逼近直线相关理论，如下图
可得：最佳逼近直线为：,
即,.
相关理论可以知网查阅，以下提供一篇文章供参考学习.
