对原函数全分参+对导函数全分参（2022年全国乙卷第21题）
一、题目
2022年全国乙卷21题
已知函数，
（1）当时，求曲线在点处的切线方程;
（2）若在区间，各恰有一个零点，求的取值范围.
二、解法
第（1）是送分的，比较简单，略过.
主要研究第（2）问.
解法1：最容易理解的方法：全分参
由题易知 . 当 0 时，
由 ，得 .
令 ,
则问题可化为:
与 在
上各恰有一个交点,
.
令 ,
易知 .
①②当 时, 在 单调递增，
又因为 ，则 ，
即 ，故 在 单调递增.
由洛必达法则可知，当 时， .
此处详细写一下：
,
同时还要注意到：
.
(2)当 时，
令 ，且 ，
则 .
令 ，
令 可解得 .
当 时， ，
则 故 单调递减;
当 时， ，
则 ，故 单调递增.
当 时， ，且 ，
则定存在 ，使得 .
当 时， 单调递增;
当 时, 单调递减, 且 .
当 时， ，
且 ,
则一定存在 , 使得 .
当 时， 单调递减;
时， 单调递增.
又因为当 时， .
综上, 的大致图象如下图.
故 , 即 .
所以， 时，
在区间 ， 上各恰有一个零点.
解法2：对导函数进行全分参
① 若 , 当 时, ，
故 在 上没有零点，不合题意.
②若 时，因为 ，
则问题等价于 在区间 上各恰有一个极值点，
这一步化归特别重要，请仔细思考，为什么是这样说？
由 ，得 .
设 , 由 ，
得 .
当 时, , 函数 单调递减；
当 时, , 函数 单调递增；
当 时, , 函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减.
所以， 取得极小值 ,
取得极大值 .
因为 ,
所以 ，解得 .
综上， 时， 在区间 ， 上各恰有一个零点.
