代入验证+必要性探路+函数极限的局部保号性+分类讨论+变更主元+数形结合【2025年八省联考第8题（最漂亮小题）解法汇总】
一、题目
★8．已知函数 ．
若当 时， ，则 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、解法
解法1：结合选项特点代入特殊值验证
此题是单选题，结合选项的特点，可采用代入验证的方法.
观察发现：是一个关键数值.
（1）若，
则当 时，
显然不可能恒为正，
故,选项可排除；
再观察选项，可以考虑令,
即可甄别出正确选项.
（2）若
则当 时，
显然不可能恒为正，
故,选项可排除,
综上：正确选项为.
★备注：此法很笨拙，但是临场应试却不失为一种好办法，耗时不多，效果很好.
此法中所取的,也可以调为其他的数，
因为命题人给出的选项是精心编排的，
只需要所取的特殊值，能把几个选项隔离开来即可.
解法2:函数极限的局部保号性+必要性探路
显然 在 上为连续函数，所以 在 处连续.
则必有 ，即
再看选项，无需回头证明，直接选.
解法3：半分参+数形结合
解：当 时， 即 ，
如图，根据 与 函数性态，
两曲线在 上必有 1 交点，则只需满足 时，
即可，代入解得
选 B．
动图如下：
解法4：分类讨论+必要性探路
解：（1）若 ，则 有 ，不符合题意；
（2）则必有 ．
则 时， ，对称轴 ,
在 上单调递增．
由 得 ，
解得 ，故选 B．
★备注：用作为分界点，来分类讨论，效果一样，
以下这种解法和上面的方法几乎相同.
解法5：分类讨论2+必要性探路
（1）若 ，即 时，
，
这与题意不符．
（2）若 ，即 时，
当 时，
因为对称轴 ，
所以 在 上为增函数，只需 即可．
解得， ．
综上所述： ．
选 B．
解法6：变更主元法
解：
时，
或
或
★(注意到因,后面这个不等式不成立)
,
选 B．
三、反思
1.此题很漂亮，网上解法很多，以上的解法，有的是自己写的，有的是参考别的公众号的，
因为题目不是很难，解法也没有特别特殊之处，恕不一一列出来源；
2.从临场应试的角度来看，个人以为代入验证法可能占比较大，其次是半分参加上数形结合的方法，
今天下午和学生一起做一下，验证猜测是否正确；
3.估计方法也就是以上几种，想要再创新，恐怕不容易，期待学生课堂上给出惊喜;
4.您有更好的解法吗？有的话，请留言赐教.
