消元法+判别式法+设角+旁切圆（一道求三角形周长最小值的老题）
一、题目
如图 , 已知直线 过点 ,
且与 轴、 轴的正半轴分别交于 两点,
求 周长的最小值及此时直线 的方程.
二、解法
解法 1:消元法+判别式法
设直线 的方程 ,
则由条件得 ,
即 , 即 ①.
★这一步为消元做好准备
记 的周长为 ,
于是 ,
化简得 . (2)
将① 式代入②式,得到关于 的方程 :
. ③
由于 ③式肯定有解, 所以 ,
即
,
显然 , 所以得 ,
即 的周长的最小值是 10 ,
等号成立时 ,
此时直线 的方程是 .
★实际上，只是必要条件，
但是只要确定能取到等号，也就是说，把取等条件说一下即可.
解法 2 设角+求导
设 的周长为 ,
则 ,
所以有 , 即 .
于是
,
所以 .
令 , 得 ,
所以 ,
化简得
, 所以 .
又因为当 时 ,
当 时 ,
所以当 时, 有最小值.
此时 的周长的最小値是 10 ,
直线 的方程是 .
解法 3 旁切圆
如图 , 作直线 轴和 轴的旁切圆
,
点 为切点,
则
.
由于点 在圆外或为切点,
即 ,
即 或 (舍),
所以 的周长的最小值是 10 .
此时直线 的方程是 .
动图如下：
当点和点重合的时候，旁切圆最小，
此时 的周长的最小值是 10 .
三、反思
1.解法1、2计算量很大, 尤其解法 2 中三次式的因式分解不容易,
对学生的运算能力要求较高.
2.尝试使用直接消元求导法和拉格朗日乘式法，都失败了，运算难度太大，
综合来看，这道题目的最好解法还是使用旁切圆来转化;
3.给代数式赋予几何意义，确实很有意义，也很有意思;
4.有没有别的更好的方法，请您赐教.
