新定义数列问题+必要性探路+待定系数法+整除问题（2014年江苏高考第20题：H数列问题）
一、题目
★（2014江苏高考第20题）
设数列 的前 项和为 ．
若对于任意的正整数 ，总存在正整数 ，使得 ，
则称 是＂H 数列＂．
（1）若数列 的前 项和 ，
证明： 是＂H 数列＂；
（2）设 是等差数列，其首项 ，公差 0 ．
若 是＂H 数列＂，求 的值；
（3）证明：对任意的等差数列 ，
总存在两个 ＂H 数列＂和 ，
使得 成立．
二、解法
★问题（1）较容易，主要分析问题（2）和问题 （3）.
通过对＂H 数列＂定义的理解可知:
＂H 数列＂的本质是它的前任意项的和都是该数列中的项.
(一）先分析问题（2）:
问题（2）可以利用原题的基本方法，
先求出 的表达式，再根据 设法求出 ．
由条件可知，.
因为 是＂ H 数列＂，所以对任意 ，
存在 ，使得 ．
又因为 0 ，则 ．
故对任意的 ， 总是正整数．
因为等式左边为正整数，
注意到 也为整数，所以 必为整数．
不少学生认为 能整除任意自然数，故 -1 ，这样的推理是不正确的，
因为条件中没有明确说明 为整数，
例如 等为何不可呢？
此时，不妨取几个具体的 看看 究竟需要满足怎样的条件．
取 ，则得不到 的相关条件．
取 ，则 ，
因为 ，所以 ，
则必有 ，从而 .
★也可以这样考虑：
,解得：.
又因为：是正整数，
为整数，故，
即,所以.
★还可以这样考虑：
,
换个写法就是,
显然只能有：,即.
还需证明 的充分性：
即证明当 时， 是＂ H 数列＂，
也就是证明对任意 ,
总是正整数．
当 时， 分别为 ，均为正整数；
当 时，注意到 与 奇偶性相反，
则 为正整数，故 也为正整数．
故 是 ＂H 数列＂．
综合两方面可知， ．
（二）分析问题（3）
假定公差为 的等差数列 为＂ H 数列＂．
则对于任意 ，存在 ，
使得 ．
若 ，则必有 ，即常数列是 ＂ H 数列＂，
则它的各项必为 0 ，但这个数列对分解是没有任何作用的．
可以利用第（2）的处理方法，
必要性探路，先求出 的表达式，再探究 为正整数的充要条件．
容易得到，当 时， ，
当 时， 为正整数，
故 必为不小于 -1 的整数．
根据问题（2），当 时， 总是正整数；
而当 明显也是正整数．
因此，公差 的等差数列 为＂ H 数列＂
的充要条件是 ： 为不小于 -1 的整数．
（三）回到问题（3）
对任意的等差数列 ，设公差为 ，
另设两个公差分别为 的等差数列 和 ，
满足 ，
即满足：
.
若取 ，则 ，
即 ，
比较两者的系数可知， ，
解得 ，于是得到 ．
这是构造的一种分解形式．
计算表明，只要 和 取不同值，就可以得到一种分解形式，
因此将 分解成两个＂H 数列＂的方式并不唯一.
基于以上分析过程，解答这道题目就很容易了．
先令 ，
再分别验证 和 均为＂ H 数列＂即可.
三、反思
1.此题非常经典，应该是****；
2.这道高考数列题，它以常见的等差数列为载体，以简约的性质为对象，
通过渐进式的问题考查了考生的数学思维品质和探究能力．
子问题 （1）在通过具体数列考查新定义运用的同时加深了考生对新定义的理解.
3.子问题（2）在考查多项能力的同时成为解决子问题（3）的基础，
挖掘其中蕴含的信息，进行引申拓展，得到更具一般性的结论，
显然有助于最终问题的解决，充分考查了考生的抽象概括和反思建构的数学思维能力．
而子问题（3）的解决方案则以一种开放的姿态出现，可以简单终结，也可以抽象拓展．
4.可以看出这是一道目标确定，层次分明，难易有度，逻辑清晰的好题．
5.2014 年江苏卷无论是全卷试题还是本题的设置，都贯穿了依托教材，紧扣课标的命题思想，
重视基础，重视能力，摒弃偏难繁怪的方向，能够很好地引导高中数学的教学．
在高中学习中，避免过分繁杂的运算和嵌套设置的技巧，学会用简单的案例说清性质和法则，
学会用数学的方法解决问题才是教与学的根本方向，应予大力倡导．
