正弦定理+辅助角公式+平面几何知识平面几何知识（直角三角形中，斜边最长）+柯西不等式（新结构试卷中的一道极其漂亮的填空压轴题）
一、题目
★大湾区 (步升联考）2025届高三年级新高考适应性测试填空题
14.设正三角形的三边分别经过点 ，
则该三角形面积的最大值为？
二、解法
解法1：设角+正弦定理+辅助角公式
解：如图：
解：在和中分别使用正弦定理可得：
,
，
解法2：平面几何知识（直角三角形中，斜边最长）
如下图：
过的圆心作的垂线，垂足为,
过的圆心作的垂线，垂足为,
易得，线段的长度是线段长度的一半，
显然有,
当直线平行于直线的时候，
正三角形的边长取到最大值，也就是线段长度的2倍，
容易算出,
,
.
动图如下：
解法3：柯西不等式
如上图：
设.
易得：,
其中 ，
,
当且仅当 时，
取到最大值.
三、反思
1.动图如下：
2.第二种解法是网友:Zzzf_提出来的,极其简洁，确实厉害,特别致谢.
3.今天上课请学生做一下，看看还有没有别的办法.
4.下午第二堂课上完后，开个会回来发现韩智芃同学给出了第三种方法：柯西不等式，也很好，供大家参考.
