(24-12-24)Red-crowned cranes in Kushiro, Hokkaido, Japan (© Wirestock, Inc./Alamy)
数论初步+等比数列（一道新定义问题的多种解法）
一、题目
★约数，又称因数.它的定义如下：
若整数 除以整数 除得的商正好是整数而没有余数，
我们就称 为 的倍数, 称 为 的约数.
设正整数 共有 个正约数,
即为 .
（Ⅰ）当 时，若正整数 的 个正约数构成等比数列，请写出一个 的值；
（Ⅱ）当 时，若 构成等比数列，求正整数 ；
（Ⅲ）记 ，求证: .
二、解法
（Ⅰ）
解：当 时正整数 的 4 个正约数构成等比数列,
比如 为 8 的所有正约数, 即 .
（Ⅱ）
解法1：关注
由题意可知 ,
★以上这个性质非常重要，
之后的所有推理，所有方法，
必从此处出，概莫能外；
因为, 依题意可知 ,
所以 ,
化简可得 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
因此可知 是完全平方数.
由于 是整数 的最小非 1 因子,
是 的因子, 且 , 所以 ,
所以 ，这个等比数列的公比为,
所以：,
所以 .
解法2：基本量运算（冒冒同学）
整理得，
以下同解法1
解法3：先证明为等比数列（张宝亮同学）
★如同以上解法，首先需要发现：
也就是：,
又有
化简得：
，
所以 .
解法4：算两次思想（韩智芃同学）
解:由题意知：
设 的公比为
则 .
注意到 均为的约数,
这样的话，一共有 个约数，
这与题目中告诉我们的：
有个约数矛盾，
再观察以上个数，发现
这个数两两不同，
又,则必有与 中的一个数相同，
因为是的最小约数（不等与1的约数中）
故 为素数，
则 只能等于，
以下解法同上.
（Ⅲ）
证明: 由题意知：
,
所以 ,
因为 ,
,
所以
,
因为,
所以,
所以,
即.
三、反思
1.此题是新定义问题，需要紧扣定义展开推理；
2.关键是得发现这个具有对称性的结论：
；
3.第(Ⅱ)问的解法4，也很有意思；
4.第（3）问又加上考察了数列求和的裂项法，
难度适中，很不错.
