阿波罗尼斯球+余弦定理+射影定理（一道较难的立体几何题）
一、题目
热身练第13题,全班有19人做出来，主要是这个模型不熟悉.
★设 是半径为 3 的球体 表面上两定点，
且 ，球体 表面上动点 满足 ，
则点 的轨迹长度为 ？
二、解法
此题需要分为几步来解决.
第一步：
搞清楚两点的位置关系，即弄清楚题目中这句话的意思：
★设 是半径为 3 的球体 表面上两定点，
且 ，
这个任务很简单，
如上图，显然，可以得到,
第二步：搞清楚动点的轨迹是什么？
即弄清楚题目中这句话的意思：
★球体 表面上动点 满足 ，
一方面，动点在球的表面上，
另一方面， 满足 ，
这很熟悉，联想到阿波罗尼斯圆，
实际上，放在空间中，就是阿波罗尼斯球的表面；
如下图：
点的轨迹是以为直径的球的表面（球心为），
其中点在直线上，
分别是线段的内分点和外分点，
满足：,
平面的视图如下：
这样的话，动点就是两个球面的交线，显然是圆，
如下图，就是图中绿色的圆,
接下来是最后一步，求这个圆的半径，进而求出周长.
如下图，在中，由余弦定理可得：
,
则,
同时，也要特别注意，此题数据很凑巧，
中，小球半径,大球半径,
加之已经计算出,
显然，是直角三角形，
最后一步，动点的轨迹，也就是绿色的圆的
半径可放在直角三角形中来求；
如下图：
由算两次思想带来的等积法，容易求得:,
周长为.
三、反思
1.作图要相对精准，计算才能不混乱，这个要求较高；
2.此题求出两个球心之间的距离，至关重要;
3.由于数据比较凑巧，此题的计算量也不算很大.
