问题11
为什么把“数量关系”作为一个主题?
数学是研究数量关系和空间形式的科学。数量关系以现实世界种种现象中的数量及其关系为对象，是数学学科内容的重要组成部分，在数学课程与教学中占有重要位置。广义上的数量关系存在于数学的各个领域内容之中，数与代数、图形与几何、统计与概率领域的内容中都含有数量关系的要素。具体而言，数量关系是运用数与符号对实际问题中数量之间的关系、性质或规律的表达，侧重于利用数学模型解决实际问题。
一、“数量关系”主题内容的演变历程
中华人民共和国成立以来，从1950年的《小学算术课程暂行标准(草案)》开始设置“应用题”主题，经过多年的演进和实践研究，逐渐形成了应用题教学的体系，包括简单应用题、复合应用题、典型应用题(行程问题、工程问题)，以及百分数应用题、按比例分配应用题等。但在2001年颁布的《实验稿》中取消了“应用题”主题，原因在于当时的应用题过于类型化，导致学生解题思路固定化，培养学生问题解决能力受到限制，因此将问题解决的内容融入到几个领域的相关内容之中，如四则运算意义的理解、用四则运算意义解决问题等。
在《课标 2011年》中，与问题解决相关的内容分散在不同领域和主题之中，包括常见的数量关系、运用四则运算的意义解决实际问题、式与方程、比和比例等。这些内容以不同的形式分散在各个学习主题和单元之中、使得问题解决内容的学习变得零散化和碎片化、很难突出运用数量关系解决问题这一重点、不利于在教学实践中整体把握、理解与实施这些内容。比如，在一个例题中有情境、数量关系、数的运算等多个学习要点、那么是以问题解决为重点，还是以数的运算为重点，这让教师常常产生认识上的困惑、进而导致在教学的重点、难点确定上存在偏差，也使教学活动的展开逻辑不够清晰。
因此,《课标2022》将“数量关系”单独列为一个学习主题，明确视出:“数量关系’主要是用符号(包括数)或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律。学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程、感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力、形成模型意识和初步的应用意识。”
将“数量关系”作为一个单独的主题、凸显了问题解决在小学数学学习中的重要性。《课标2011》中“常见的数量关系”“式与方程”“正比例”“反比例”“探索规律”，以及运用四则运算的意义解决实际问题等内容，其本质都是研究数量关系的。《课标2022》将这些看似零散的内容整合到“数量关系”主题下，有助于教师和学生感知这些内容之间的关联，知道这些内容的本质特征是一样的。比如、“用字母表示数”中、字母表示的不一定是一个具体的数，往往表达的是一类数量、用含有字母的式子表示数量关系和规律，是在实际情境中对具体数量及其关系和规律进行抽象后形成的结构性、一般化的表达。另外，对基本的算术关系与结构的理解，以及适当地将其拓展为一般化，有利于促进学生早期代数思维的形成。因此、将这些内容整合在“数量关系”主题下，可以促进学生从算术思维到代数思维的过渡，有利于其抽象意识和概括能力的形成。
二、“数量关系”主题结构化整合的意义与价值
第一，凸显内容之间的整体性。课程结构化的目的在于体现学习内容之间的关联，使学生更好地理解一个学科的基本原理，进而促进其对学习内容的掌握和能力的发展。小学阶段“数量关系”主题所涉及的内容主要包括四则运算的意义、建立数量关系模型、应用模型解决问题、字母表示关系、比和比例等，这些内容之间以数量关系模型为线索，建立起关联。而关联的意义在于使学生体会其中的大观念，并将这些大观念在其后的学习中反复运用和强化。“核心概念是可以把领域或主题内，甚至跨越不同领域、不同主题的更为基本的概念、方法和问题联系起来的具有支配性的概念，是促进有意义的、联系紧密的知识的一个实用而强大的工具。”这里的核心概念就是我们理解的大观念。比如，“加法模型”是“数量关系”主题的大观念，其在不同阶段有不同的表现形式，也标志着学生的思维发展与学习进阶从理解加法的意义(表示数量的合并)到理解减法的意义(表示两个数量相差)，再到建立加法模型(总量=分量+分量)及其变式(分量=总量-分量)，并运用加法模型及其变式去解决问题，这是一个不断从简单到复杂的过程，但它的本质是一样的，都是“加法模型”。
第二，有助于知识与方法的迁移。内容结构化使得零散的内容通过大观念建立起关联，帮助学生更好地理解和强化更多的知识与方法，并将其运用到新场景的学习中。比如，加减法的认识、加法和乘法混合运算问题、用字母表示关系、比的认识等，这些关键内容的大观念都是数量关系模型，学生在学习过程中不断地理解、把握和运用这一模型去解决问题,有利于其实现知识与方法的迁移。
第三，促进核心素养的养成。内容结构化后的主题通过大观念建立内容之间的关联，最终指向学生模型意识、几何直观、推理意识、应用意识等核心素养的养成。比如，在解决“弟弟摘了4个桃子，哥哥和弟弟一共摘了多少桃子”这一问题时，学生会提出疑问:“缺少了什么条件呢?”之后，教师通过补充不同的条件，产生不同的答案，如“哥哥摘了6个桃子，哥哥比弟弟多摘2个桃子”等，帮助学生逐渐理解“弟弟的桃子数+哥哥的桃子数=总桃子数”这一数量关系。学生在解决具体问题的过程中，应用几何直观理解了加法的意义，体会了解决问题的道理，解释了计算结果的实际意义，为后续加法模型“分量+分量=总量”的建立与理解奠定了基础。
总之，《课标2022》将“数量关系”作为一个主题，也就是把相同本质特征的内容进行整合，是主题结构化整合的基本思路的体现。这样将有助于教师从整体上理解和把握以数量关系和问题解决为重点的内容，促进学生问题解决能力的培养;也有利于学生从内容结构的整体视角理解“数量关系”，理解如何在解决实际问题的过程中，应用数学模型来解决问题，从而发展其符号意识、推理意识、模型意识和应用意识等数学核心素养，提高解决问题的能力。(执笔人:孙兴华)
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编 辑：牛 静
内容来源：本文摘至马云鹏 吴正宪等编著的《义务教育数学课程标准（2022年版）50问（小学）》，华东师范大学出版社。
