问题25
如何理解“图形的位置与运动”主题内容的本质？
“图形的位置与运动”主题的本质是点的坐标表达，我们需要建立图形的位置与运动之间的内在联系。将原来的两个主题整合为一个主题教学，更有利于教师对数学本质的把握。点是构成图形最基本的元素，图形的位置本质上是点的位置，图形运动是图形上所有点的运动。一个数表示线上的点，线是由点的运动组成的;两个数确定平面上一个点的位置，如用一对有序数对确定位置，或者用“距离+方向(角度)”确定位置;三个数能确定空间上点的位置。
小学数学中确定图形的位置有两种情况:一是用直角坐标确定位置，就是用数对表示位置;二是用极坐标确定位置，也就是用“距离+方向(角度)”表示位置。
用数对确定位置，是指两条直线互相垂直，相交于一点，体现确定位置的唯一性。以学生熟悉的教室座位图为例。教师说:“李强同学在教室的第3列，请起立。”此时，会出现第3列的同学都站起来。教师问:“李强到底在哪里?”这时学生就会意识到还需要一个条件-“李强在第几行”。假设李强在第4行，此时就锁定了唯一能确定的点(3，4)的位置。教师还可以追问:“同样是3和4两个数，若写出的数对是(4，3)，位置还一样吗?”从而使学生体会数对是有序的。
确定位置的第二种情况是用“距离+方向(角度)”来确定点的位置,这个点实际上是射线和圆周的交点。如在救援故事中，若我们听到这样的呼救:“01、01，我在距离你3千米的地方，请求支援。”救援队能找到准确位置吗?不能。为什么?此时一定要给学生留下想象的空间，在其头脑中出现一幅图:以救援队为圆心，以3千米为半径，画一个圆，圆上有无数个点(见下图左图)，位置不能唯一确定。又如:“01、01，我在你东偏北30°的地方，请求支援。”救援队能找到准确位置吗?不能。为什么?还是要留给学生想象的空间，让其头脑中出现另一幅图:将救援队所在的位置抽象成为射线上的一个点，东偏北30°，这个点是在一条射线上(见下图中间图)，还是无法找到确定的点。只有将这两条有关的信息相结合，才能确定准确的位置，这才有了确定位置的唯一性(见下图右图)。
此类的真实情境还有很多，比如，世界各国的地理位置可以用经纬度来确定。经度和纬度是根据经线和纬线来划分的，经纬线是人们为了方便度量而假设出来的辅助线，它们共同组成一个坐标系统，称为地理坐标系统。它是一种利用三度空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系统，能够表示地球上的任何一个位置。由于各国和地区的经度不同，地方时也有所不同，因此会划分为不同的时区，如北京位于北半球的东八区，中心位置是东经 116°20’、北纬39°56'。
通过图形的位置与运动的教学，让学生感知在平面上确定位置需要一对有序数对或“距离+方向(角度)”，体会变化中的对应思想和唯一性，从而发展学生的几何直观。
小学数学中图形运动的方式有平移、旋转和轴对称。如坐观览车、滑滑梯、推拉窗等运动属于生活中的平移现象;旋转木马、风扇、钟表表针等运动是生活中的旋转现象;故宫、蝴蝶、飞机等图案是轴对称图形。
图形运动本质上是图形上点的位置的变化。图形平移的要素有两个:平移有方向和平移有距离。图形旋转有三要素:旋转中心、旋转角度和旋转方向(顺时针、逆时针)。如将等腰直角三角形(下图)沿着原点顺时针旋转90°、感受图形旋转前后的位置关系，了解其中的变化和不变，也就是点的位置的变与不变，体会变化中的对应思想和唯一性。等腰直角三角形是轴对称图形，它有1条对称轴，沿着对称轴对折，图形的两部分完全重合，其背后也有对应思想的渗透。
再如,把下图中的小房子向右平移5格，平移后应在哪里?学生认为把小房子向右平移5个格，就是中间空5个格。如何帮助学生认识到自己的错误，并自我调整和修正呢?
学生之所以出现错误的认知，究其原因，是没有把握住图形的运动与图形的位置之间的内在联系。占一个方格的简单图形的平移运动，学生理解起来比较容易，因为这样的简单图形向右平移5格，就是中间空5个格;而占多个方格的稍复杂的图形进行平移时，学生会产生不同程度的困难。
教学平移时，要让学生清楚什么是“平移1格”。比如，找到小房子中三角形最上边的顶点，正好在方格纸格线的交点上，随着这个点的运动,整个图形也跟着运动，位置也发生了变化(如下图)。向右平移1格，让学生先想象，再操作，或者课件动态演示小房子的位置，让学生感受到，可以先确定平移的方向一一向右，然后确定平移的距离。当学生明白“平移1格”的含义后，以此类推，向右平移2格、3格、4格、5格.每移动1格，图形的位置都会发生变化。也可以找其他的对应点，虽然每个学生找的对应点可能不一样，但都是把小房子向右平移5格，图形移动后的形状不变，变化的是图形的位置。平移还可以找到一条线段(如长方形右面的一条边)，以这条线段为参照，向右移动5格。在平移的过程中蕴含着对应思想，也体现了平移的本质。在平移的过程中，要让学生感受到点是构成图形最基本的元素，图形的位置本质上是由点的位置决定的，图形的运动是图形上所有点的运动，图形一旦运动就会有位置的变化。还可以从坐标的角度记录平移的过程。小房子最顶部的点的坐标是(2，4)，向右平移1格、2格、3格、4格、5格后，依次表示位置的点分别是(3，4)、(4,4)、(5，4)、(6，4)、(7，4)。
平移可以想象是点的平移运动，也可以想象成线段的平移运动，在平移的过程中发展学生的想象力和几何直观。
(执笔人:吴正宪)
END
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编 辑：牛 静
内容来源：本文摘至马云鹏 吴正宪等编著的《义务教育数学课程标准（2022年版）50问（小学）》，华东师范大学出版社。
