问题14
如何在教学中整体把握“数量关系”？
《课标2022》针对小学三个学段“数量关系”主题的教学，提出了核心素养培育的一致性要求，也针对不同学段提出了不同要求，体现了其阶段性与整体性相统一的结构化特点。教师在实际教学时要从整体的视角对具体内容进行分析，关注与具体内容相关的大观念，提炼其中蕴含的核心素养，结合不同学段学生的基础和心理发展特征，选择有针对性的问题情境，设计能引发学生思考、促进其对数量关系理解和运用的教学活动。教学中应将数量关系内容的学习与学生问题解决能力的培养紧密联系，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，并运用数学和其他学科的知识与方法解决问题，发展学生的模型意识、应用意识和创新意识。
第一学段:理解运算的意义，运用数和数的运算的意义解决问题
首先，可以引导学生通过对数量的“合并”和“去掉”来感知加减法算式的意义，初步理解算式表达的数量关系。比如，可以用学生感兴趣的气球作为简单情境，呈现把3个黄气球和1个蓝气球合并起来的过程，这样的过程可以用3+1=4来表示;再呈现把4个气球放走1个的过程，这个过程可以用4-1=3来表示。通过这样的情境和表达方式，使学生体会气球“合”与“分”的过程，初步感知加法和减法算式的意义，体会运用数量关系解决问题的过程，也为以后进一步认识加法模型奠定基础。接下来，
引导学生用多种感官参与活动，通过说一说、画一画、摆一摆等活动,在解决具体问题中应用几何直观理解加法、减法的意义，体会解决问题的道理,解释计算结果的实际意义。
其次，利用联系生活的问题情境，借助画图和实物操作等帮助学生在解决问题中理解运算的意义。比如，在“弟弟摘了4个桃子，哥哥摘了?个桃子，一共摘了多少个桃子”这样一个问题情境中，可以通过直观操作帮助学生理解“弟弟的桃子数+哥哥的桃子数=总桃子数”这一数量关系,使其明白求两个数量的合并需要用加法，进而引导学生利用加法的意义解决问题，即4+7=11(个)。然后将题目中“哥哥摘了7个桃子”的文字和图片遮挡住，提出问题:“如果不直接告诉哥哥摘了7个桃子，又该怎么表达呢?”学生纷纷回答“哥哥摘的比弟弟多3个”“弟弟摘的比哥哥少3个”。把此问题演绎成了两步解决的问题，即4+3+4=11(个)。上述两个算式均反映了加法的本质意义，体现了相同的关系模型，这样的过程为后续加法模型“分量+分量=总量”的建立与理解奠定了基础。也就是说，从开始认识加、减法时，就要沟通加与减的关系，让学生有意识地从加、减法的认识中初步了解加法模型及其变式，理解运算意义之间的关系，为以后进一步学习打下坚实基础。在后续的“数量关系”主题相关内容的学习中，通过不断重复运用和强化相关的大观念与方法，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力，逐步形成模型意识。
第二学段:抽象数量关系模型，运用数量关系模型解决问题
要利用原有经验，梳理数量关系。从具体问题情境出发，唤醒学生原有的学习经验，激发学生的学习兴趣和解决问题的动机，让学生体会数学模型的价值,渗透函数思想。在学生理解运算意义的基础上，在具体问题情境中，利用加法或乘法表示数量之间的关系，建立加法模型和乘法模型，这是对第一学段四则运算意义的抽象，也是发展学生模型意识、应用意识的重要途径。
比如，“从家走到学校，小华用了15分钟，小军用了12分钟，小明用了15分钟，他们谁走得更快?”这是个“不完整”的问题情境，通过“谁走得更快”这一问题引发学生的思维矛盾和认知冲突，学生在质疑、对话讨论中逐步清晰:要解决这个问题，需要知道路程是多少，当补充了“小华家、小军家、小明家到学校的距离”这个条件后，学生很快便有了答案。接着，可以变换情境和条件，引发学生不断地深入思考。经过多情境的问题解决，学生会发现:当路程一样时，时间就是参考依据;当时间一样时，路程就是参考依据;但当时间、路程都不一样时，该怎样判断快与慢，进而理解“速度”这一关键概念。学生在一个个问题中深入思考分析，运用画图将抽象的数量关系直观化，将抽象的思维外显化，最终探索出具有普遍规律的问题解决模型，即“路程=速度x时间”。通过问题解决，学生形成了初步的模型意识和应用意识，理解和掌握了基本数量关系，并拓展了解决问题的思路。
第三学段:应用数量关系模型、比和比例等解决较复杂的问题
这一阶段数量关系教学的着力点仍然是对数量关系的分析与判断，如运用字母表示数量关系和规律、用比例解决问题等。要重视发展学生对现实生活问题进行抽象与简化的意识，可以要求学生用数学的观点来解释并解决一个实际生活中所发生的问题，以此类推，引导学生逐步形成一套关于数学的描述、数学的程序或数学的方法和工具，并能尝试在现实生活中运用数量关系模型解决问题。比如，在“植树问题”中，教师先从解决简单的包含除法的问题入手，唤醒学生已有的认知经验。如提出问题:“现有20棵树苗，每5棵树苗捆成一捆，可以捆多少捆呢?”学生很快就能用“包含除”轻松算得“20÷5=4(捆)”。然后抛出问题:“要在20米长的公路一边每隔5米种一棵树，能种几棵?”学生的答案可能有“3棵”“4棵”“5棵”，通过简单的除法问题模型引发认知冲突，推动学生去思考:同样是求“20里面有几个5”，为什么种树的情况不同，以此来激发学生的探究欲望，并适时引出主题。接着引导学生明白树要种在点上，进一步感悟不同情况下“段数与点数”的关系。通过对算式中“4”的含义的理解，区分“段”与“棵”的概念，即“段”是指两个点之间的那一段，而“棵”是一段上的某一个点，进一步明确段数与点数之间的关系，明白树要种在线段的点上。最后根据实际情况对分的结果(段数)进行调整，确定树的棵数，建立“植树问题”模型。在上述基础上，引领学生归纳概括，找寻规律。同样是用除法解决问题，不同的是需要根据实际情况对所求的商进行调整，从而建立“商+1、商、商-1”的“植树问题”模型:两端都种时是“4+1”，一端种一端不种时是“4”，两端都不种时是“4-1”。这样，通过引导学生运用几何直观、一一对应等数学思想，发现和理解“植树问题”中不同情况时“棵数”和“间隔数”之间不同关系的数学模型，进一步体会模型的拓展应用，进而提高分析问题和解决问题的能力，形成初步的模型意识和应用意识。(执笔人:孙兴华)
END
极深研几
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编 辑：牛 静
内容来源：本文摘至马云鹏 吴正宪等编著的《义务教育数学课程标准（2022年版）50问（小学）》，华东师范大学出版社。
