问题28
如何从运动的视角审视图形与几何领域各主题之间的关联？
图形与几何领域包括“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”两个主题。这两个主题之间有密切的联系，比如，刻画图形，一是要从图形特征认识图形，关注构成图形的要素和要素之间的关系、图形与图形之间的关系;二是要从度量认识图形;三是要从运动的角度认识图形，研究图形的性质。下面将从“运动的视角”重新审视“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”这两个主题，它有利于教师把握结构化的课程内容，体会数学的基本思想，发展学生核心素养。
一、从运动的视角刻画图形的特征，发展空间观念
在认识图形的教学过程中，可以从运动的角度，直观地刻画图形的特征。例如，长方形、正方形、圆等图形，可以通过平移、旋转、轴对称，发现图形的特征。
如将一个点进行平移运动，运动后的轨迹是一条线段，这叫点动成线。将一条长5厘米的线段沿着垂直于其自身的方向平移3厘米，平移后的轨迹是长方形，线动成面。当平移的这条线段的长度不变时，平移轨迹的长短不同，得到的图形大小也不同;当运动距离与线段自身的长度相等时，运动轨迹是正方形;继续平移线段，运动轨迹又变成长方形，说明正方形是特殊的长方形。平行四边形对边平行且相等，是因为当平行四边形的一条边平移至对边时，没有改变这条边的长短，也没有改变这条边原有的方向，而这条边是沿着相同方向进行平移运动的，因此平行四边形对边不仅平行而且相等。
一个长方形平放在课桌上，垂直往上平移一定的距离就会形成长方体。为什么一个只有4条边、4个角的长方形运动后就变成有6个面、12条棱和8个顶点的长方体了呢?此处可以引导学生想象运动的过程:长方形原来有4个顶点，长方形从起始位置平移运动到终止位置后，顶点数变为原来的2倍，也就是8个;而平移后棱的数量在起始位置和终止位置各有4条，4个顶点运动过程中又产生了4条，因此长方体有 12条棱;长方形在起始位置和终止位置各有1个面，运动中长方形的4条边运动的轨迹又产生了4个面，因此长方体有6个面。正方体也是如此。
如果将一个长方形沿着垂直于自身的方向进行平移运动，平移运动后的轨迹是长方体。如果将一个正方形沿着垂直于自身的方向进行平移运动，平移运动后的轨迹最初是长方体，当平移的距离与正方形的边长相等时则变成了正方体，继续平移，又变成了长方体，所以正方体是特殊的长方体(如下图)。
圆是一条线段绕一个定点(旋转中心)旋转360°形成的曲线图形，蕴含着从定点到定长的点的运动轨迹;当旋转的角度不够360°时就是扇形，扇形的大小和圆心角大小有关(见下图)。而一条射线绕(沿着)端点旋转后形成了大小不一样的角，也就有了角的分类。以一个长方形的长或宽为轴旋转360°，可以形成圆柱;当圆沿着垂直于自身方向进行平移时也可以形成圆柱。沿着直角三角形的直角边旋转360°就会得到一个圆锥..
当然，我们也可以从坐标的角度去刻画图形的位置，通过数对感知图形的特征。如下图所示，一个长方形长8厘米，宽5厘米，放在方格纸中，四个角所在点的位置分别是(1，1)、(9，1)、(9，6)和(1，6)，其中(1,1)和(9,1)在同一行,(9，6)和(9，1)在同一列。
综上所述，我们常说的点动成线、线动成面、面动成体，再现了图形的动态化形成过程，也体现了一维、二维和三维不同维度图形之间的转化。从运动的视角再次认识图形，有助于进一步理解图形的特征，发展学生的空间观念和推理意识。
二、从运动的视角理解图形的测量，发展空间观念
教学图形与几何领域的内容时，从运动的视角不仅可以认识图形的特征，也可以认识图形的大小，探索图形的大小与什么有关系。
一条线段在垂直平移的过程中，运动的距离越长，形成的长方形面积越大;运动的距离越短，形成的长方形面积越小(见下图)。同理，平行四边形的底不变，面积的大小随着底边运动距离的长短而变化，运动的距离越长，面积越大;运动的越短，面积越小。根据“平行四边形的面积=底x高”“长方形的面积=长x宽"，可以推出“面积=底边长度x运动距离”，从而使得面积的计算方法具有了一致性。
如下图所示，一条线段旋转360°形成一个圆，它的大小与线段长短(半径)有关，即线段越长，圆的面积越大，也就是我们常说的“半径决定圆的大小”。一个圆在垂直向上平移运动的过程中，圆的大小是不变的，说明圆柱的底面是两个完全相同的圆。圆的面积不变，运动的距离越长,圆柱的体积越大;运动的距离越短，圆柱的体积越小。长方体、正方体的体积大小也是如此。
综上所述，图形的大小离不开构成图形的要素，图形平移的距离就是图形的高，当底面一定时，高是决定图形大小的要素之一。
三、从运动的视角寻找主题间的关联，感悟一致性
图形运动既是学习内容，也是一种思想。上述从平移和旋转两个维度，从点动成线、线动成面、面动成体的运动视角，再现了长方形、正方形、平行四边形、圆、长方体、正方体、圆柱和圆锥等图形的产生过程,从而促使学生从运动的视角进一步理解图形的特征以及图形各元素之间的关系。图形的认识、测量、位置和运动等内容之间的联系也体现了一维空间和二维空间之间的转化、二维和三维空间之间的转化，也就是建立了同维度图形之间和不同维度图形之间的联系。这将有利于学生学会用数学的眼光观察丰富的图形世界，体会图形在现实生活中的广泛应用，体会数学的价值。
从图形的位置与运动的本质出发，可以使我们更深刻地感受到图形与几何领域“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”这两个主题之间是融会贯通的。图形的认识是从点、边、角、面的数量及其关系，运动的角度刻画的;测量是从数据的可量化角度再次认识图形，代数、几何和其他领域描述位置时也离不开测量中的具体数据，所以测量还能帮助我们沟通代数、几何和其他领域之间的联系。从运动的视角看，图形的认识与图形的测量密不可分，图形的运动与位置紧密相连。将图形的认识与测量、位置与运动进行有机融合，可以从静态和动态两个角度认识图形，也可以从度量的角度认识图形。因此，“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”两大主题之间也是相互关联的。
现实生活中，因为我们所处的位置不同，看待事物的视角和观点也就有所不同，换个角度思考，可能会有与众不同的策略。运动的视角打开了学生对图形认识的新视野，从而可以有效化解困境，达到“柳暗花明又一村”的境界。(执笔人:吴正宪)
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编 辑：牛 静
内容来源：本文摘至马云鹏 吴正宪等编著的《义务教育数学课程标准（2022年版）50问（小学）》，华东师范大学出版社。
