问题26
图形的运动包括哪几种类型？它们有什么特征？
在小学数学教材中，图形的运动有平移、旋转和轴对称，也有图形的放大与缩小。其中，平移、旋转和轴对称属于刚体运动。图形的放大与缩小属于相似运动。这些内容分布在不同的年级。
判断一个物体的运动需要参照物。我们坐在行驶的车辆中无法感知车辆的运动，感知到的是路两旁的树木迅速地后移。这是因为我们以运动的车辆为参照物，静止的树木都“运动”了起来。因此，要描述平移、旋转、轴对称的运动，必须找到合适的参照物。
如下图所示，平移运动的参照物是一条射线，图形上所有的点与射线的距离保持不变，沿射线的方向移动相同的距离的运动为平移。平移的基本特征是图形平移前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行且相等”。确定平移变换需要两个要素:方向和距离。
旋转运动的参照物是一条射线，图形上所有的点到射线端点距离保持不变，相对于这条射线移动了相同角度的运动为旋转(如下图)。旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心(射线端点)的距离相等,并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。确定旋转变换也需要两个要素:旋转中心、旋转角(有方向)。
对称包括轴对称、中心对称、点对称等。下图中的等腰三角形ABC是轴对称图形，AO所在的直线就是对称轴，对称轴把BC边平分，也就是B、 C两个对称点到对称轴AO的距离相等，即BO=CO。等腰三角形有1条对称轴。在小学学过的其他平面图形中，等腰梯形、长方形、等边三角形、正方形、五角星、圆都是轴对称图形，对称轴的条数分别为1条、2条、3条、4条、5条和无数条。
平行四边形不是轴对称图形，它是中心对称图形。把一个图形绕某个点旋转 180°后与原来的图形重合，这样的图形就叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
图形的放大与缩小要利用比例的知识。根据“对应边的比相等”这一原理,利用比例知识计算出所要作的图各对应边的长度，从而对图形进行放大或缩小。这是学习图形的平移与旋转之后的另一种变换方法。在这部分内容中，学生通过猜想、现察、分析、操作、质疑、验证，体公图形放大与缩小的基本原理，进而感悟图形的相似，为中学学习相似图形打下基础。
例如，在下图中，把平面图形放在下图的方格里，按2:1的比例画出图形放大后的图形，或者按照1:2的比例缩小后画在方格纸上。
下面以图形的放大为例。图中的长方形、正方形按照2:1的比例放大，放大前正方形边长是4厘米，放大后的正方形边长是8厘米;放大前的长方形长是6厘米，宽是4厘米，放大后的长方形长是12厘米，宽是8厘米;放大后图形的形状没变，图形的内角角度没变，对应边都乘2。与长方形和正方形的放大相比，一般三角形的放大不太好把握，尤其是如何才能保证放大后的对应角不变。对于上图中的三角形，我们可以先画出底边上的高，这样垂足就把三角形底边分成2厘米和4厘米两部分;图形放大后，需要把原图形的高4厘米变成8厘米，原图形底边的2厘米和4厘米变成4厘米和8厘米，保证底边的两部分的比还是1:2，这样就能保证放大后的三角形和原图形形状不变，对应边长度乘2，对应角角度不变，图形面积是原来的4倍。
如果没有把这三条关键的边按照比例放大，图形的形状就会发生改变。
《课标 2022》中图形的运动主要包括平移、旋转和轴对称。这三种运动有什么区别和联系呢?图形运动中的平移和旋转都是相对于图形整体而言的;输对称相当于把图形或物体分成形状完全一样的两部分，也就是图形的一半，这两部分沿着对称轴翻折后能够重合在一起，所以轴对称图形中的对应点相对于对称轴的距离不变。
研究图形的对称性，可以从运动的角度去刻画图形的特征，先想象能够使图形分成完全一样的两部分的这条直线在哪儿;找到这条直线后，还要在头脑中再现图形的样态，感知这条直线两边的形状是一样的。教学中这个过程要放慢，留给学生足够的想象空间，这也是培养学生空间观念的重要过程。
教学中要结合现实情境，让学生感知图形的运动与位置的变化，体会数学美。比如，学生熟悉的游乐场中有很多项目，可以让学生用手势比画它们的运动方式，根据运动方式的不同进行分类;也可以利用图形的平移、旋转画出自己心中的作品，和美术学科融合，如画手抄报时，可以利用平移，采用二方连续或四方连续作花边，也可以先欣赏一些窗帘的图案，再用所学知识构思图案，之后基于图形的平移或旋转运动而形成更多复杂美丽的图案。
教学这部分内容时，建议:
(1)结合生活实例，在观察与比较中认识图形的运动与位置。课程内容的选择要贴近学生实际，有利于学生体验、思考与探索。因为儿童的抽象思维需要具体形象思维与生活经验给予支撑，这对于感知图形运动这样抽象的内容来说尤其重要。小学阶段对图形的运动的定位是积累感性体验，形成初步认识。
(2)借助操作活动，加深对图形运动与位置本质的认识。操作是一种重要的实践活动。图形变换的操作主要是在方格纸上画出一个图形经某变换后的图形和剪对称图形。应鼓励学生动手操作，并在操作过程中积极思考，发展思维能力，从而发展学生的空间观念。
(3)注重从运动的角度，引导学生欣赏图形、设计图案。学习图形与变换内容的一个重要目的是让学生运用数学的眼光看待现实世界，因此，教学中应鼓励学生从变换的角度欣赏图形，设计图案，加深学生对图形平移、旋转和轴对称的理解，激发学习兴趣，感悟数学的美及其应用价值。(执笔人:张秋爽)
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极深研几
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编 辑：牛 静
内容来源：本文摘至马云鹏 吴正宪等编著的《义务教育数学课程标准（2022年版）50问（小学）》，华东师范大学出版社。
