问题16
如何理解“数量关系”主题的一致性和阶段性?
“数量关系”是《课标2022》在数与代数领域新增加的学习主题，虽然这个主题的大多数内容在以往的课标和教材中都涉及，但这些内容整合为一个主题后，能更加凸显这些内容对培养学生解决问题能力的重要性。“数量关系”主题分散在不同学段的内容在学科本质上具有一致性，突出解决问题的特征和模型意识的形成，同时这些内容在不同学段又具有阶段性特征。以下谈谈如何在教学实践中体现“数量关系”主题的一致性和阶段性。
一、一致性体现“数量关系”主题的学科本质
一致性是《课标2022》针对具有共同学科本质的主题提出的，有助于从整体上理解和把握主题的学科本质与核心内容。
“数量关系”主题的重点在于解决具体情境中的问题，其一致性体现在运用数量关系解决问题，建立和应用数量关系模型。《课标2022》中提出加法模型“总量=分量+分量”和两个乘法模型“总价=单价x数量”“路程=速度x时间”，小学中涉及的大部分解决问题的内容都可以归结为这三个数量关系模型及其变式和拓展。如1年级开始学习加减法的意义，这是加法模型的雏形;第三学段学习“用字母表示关系”，这是数量关系模型的拓展，该学段学习的“比”是两个数量倍数关系的表达，也是一种特殊的乘法模型。将数量关系模型作为大观念，从整体上理解“数量关系”主题ban体现这类内容的一致性，有助于从整体上把握数量关系内容，理解学习内容之间的关联，实现学习过程中知识与方法的迁移，促进学生核心素养的形成和发展。
二、阶段性是“数量关系”主题在不同阶段的表现
阶段性是指一个主题内容在不同阶段的表现形式或水平。阶段性要求体现一致性的阶段特征，一致性是在不同阶段的学习进阶过程中逐步实现的。明确主题内容的阶段性，有助于理解和把握不同阶段学习内容的呈现方式和对学生学习的要求。“数量关系”主题的阶段性特征主要依据《课标2022》在三个学段的阶段性要求，确定其学科本质的阶段性表现。第一学段重点是“在简单的生活情境中，运用数和数的运算解决问题”，第二学段重点是“在具体情境中，认识常见数量关系:总量=分量+分量、总价=单价x数量、路程=速度x时间;能利用这些关系解决简单的实际问题”，第三学段重点是利用字母表示关系，以及比和比例解决问题。
“数量关系”主题的本质是培养学生在真实的情境中解决问题的能力，集中体现在建立和应用数量关系模型解决问题。通过对课标“内容要求”的分析可以知道，学生对数量关系模型及其应用的理解具有阶段性。第一学段运用四则运算的意义解决问题可以看作是前模型，是在具体情境中分析数量关系解决问题。四则运算的意义包括合并、比多、比少、相差、求相同加数和、等分除、包含除等。在实际情境中运用运算意义理解数量关系,解决问题。第二学段建立和应用数量关系模型。数量关系模型具有一般性,建立模型是在第一学段运算意义基础上的抽象，并用字母或文字表达出来。“总量=分量+分量”是合并、相关、比多、比少等具体的数量关系的抽象。两个乘法模型也是数量关系的抽象表达。应用具有一般性的模型可以解决更多的问题。第三学段是数量关系模型的拓展。用字母表示关系具有初步的代数思维的特征，比和比例也是一种数量关系模型，利用这些知识与方法可以解决更多的问题。
三、教学中如何处理好“数量关系”主题的一致性和阶段性的关系
“数量关系”主题既有一致性，又在不同学段体现阶段性特征。在实际教学中，教师既要从整体上理解主题内容和方法的一致性，又要分析和把握相关内容的阶段性要求，在大观念的统领下体现学习进阶，以符合学生发展水平和接受能力的形式呈现给相应阶段的学生。“数量关系”主题以常见数量关系模型为大观念，在三个学段有不同的表现(如下图)。
第一学段:前模型(用运算意义解决问题)
第二学段:建立与应用模型解决问题
第三学段：模型的拓展(用字母表示关系等解决问题)
第一学段用四则运算的意义解决问题，可以认为是前模型阶段，这时学生还没有建立一般性的数量关系模型，主要运用四则运算的意义分析和解决具体问题。比如，“操场上参加跳绳的有12个男生，15个女生，一共有多少人跳绳?”这个问题的基本数量关系就是“男生的人数+女生的人数=总人数”，而不用“分量+分量=总量”这样一般性的数量关系去表达。
第二学段在第一学段积累的一些用四则运算意义解决问题的经验基础上，抽象出加法模型和乘法模型，并运用模型及其变式和组合分析数量关系来解决问题。“分量=总量-分量”“单价=总价÷数量”“速度=路程÷时间”都是基本模型的变式。基本模型的组合就是两次或两次以上运用基本模型表达具体情境中的数量关系，如“总量=分量+(总价=单价x数量)就是加法模型和乘法模型的组合。比如，“妈妈买面包花了3.8元，又买了3千克苹果，每千克4.6元，妈妈一共花了多少钱?”这个问题的基本关系是“分量+分量=总量(一共多少钱)”，其中一个分量要用“总价=单价 x数量”来表达。运用数量关系模型分析解决问题会清楚表达解决问题的思路。
第三学段有了字母表示关系，就可以进一步拓展数量关系模型，可以用字母表示其中的一个数量来解决问题。比如，“弟弟和姐姐一共有180张邮票，姐姐的邮票数是弟弟的3倍，弟弟和姐姐分别有多少张邮票?”根据题意可以列出下式:
弟弟的邮票数+姐姐的邮票数=180,
弟弟的邮票数+弟弟的邮票数x3=180,
弟弟的邮票数用a表示，则a+3a=180，4a=180，a=180÷4=45。
“数量关系”主题的一致性和阶段性是一个需要持续研究的问题，如何将其在相关学段或单元的阶段性表现体现在具体的教学设计之中，也是对该主题内容的学习进阶研究的重要话题。
(执笔人:马云鹏)
END
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编 辑：牛 静
内容来源：本文摘至马云鹏 吴正宪等编著的《义务教育数学课程标准（2022年版）50问（小学）》，华东师范大学出版社。
