问题7
如何理解“数与运算”主题内容的本质？
现行教材中，小学阶段对数的认识主要是通过现实情境来实现的。比如，通过生活中的数量来认识整数;通过元、角、分，米、分米、厘米等现实问题来认识小数;通过等分后部分与整体的关系来认识分数。整数、小数、分数似乎是完全不同的，但《课标2022》将计数单位作为数的认识的大观念，就将整数、小数、分数三者统一起来了，因为无论是分数、小数还是整数，都能用计数单位来表达。比如，整数325表示3个百、2个十和5个一;小数3.25表示3个1、2个0.1和5个0.01;分数2/3表示2个1/3,4/3表示4个1/3。过去的教材对分数的定义是“将一个整体平均分成若干份，取出其中的一份或者几份的数就是分数”，虽然这个定义后来不在教材中呈现了，但很多教师还是根深蒂固地认为这就是分数的定义。然而这样的表述过于强调分数部分与整体的意义，忽视了分数的度量意义。而《课标2022》从大观念一计数单位，即分数单位的角度去认识分数的本质，这样一来，分数的本质就是：分数单位以及有几个这样的分数单位。一旦理解了分数单位，学生就能够像整数计数的过程一样，对分数进行计数，从而理解整数和分数单位的倍数关系(如4个1/4就是1)，任意分数(包括真分数和假分数)和分数单位的倍数关系(如4/3就是4个1/3)，进而理解相同分数单位的分数才能直接比较大小和加减，从而引出异分母分数通分的必要性。分数乘整数，就是看分数单位个数的变化;分数乘分数，需要先看分数单位的变化，再关注有多少个新的分数单位。所以，计数单位不但统一了分数的认识，也统一了分数的运算。
同样的，过去教材中数的运算也缺乏一致性。例如，整数乘法可以理解为是几个相同加数的和的简便运算，但是小数和分数的乘法就不能完全这么解释，如0.2x0.3就不能说是0.3个相同的0.2相加。因此，整数运算、小数运算和分数运算各讲各的理，这不仅增加了学生的思维负担，也给教学带来了挑战。如果围绕计数单位这个大观念开展数的运算的教学，就可以有效地解决这个问题。整数和小数加减时数位要对齐,异分数的加减要先通分，都是因为数的加减运算需要在相同的计数单位上进行。乘除法则要先对计数单位进行乘除，再对计数单位的个数进行乘除。
因此，在数的认识和数的运算中，计数单位起着核心作用。不同的数的运算都可以基于计数单位这一大观念贯通起来:加减法必须在相同计数单位上进行。整数、小数加减法，要相同数位对齐，一旦出现进位加或退位减，就需要进行计数单位之间的转化，整数、小数单位之间的转化是十进制。分数加减法与整数、小数形式虽不同，但本质相似。分数单位的转化没有固定的进率(如十进制)，转化时需要同时考虑两个(或两个以上)参与运算的分数的单位。只有相同计数单位的数，才能直接运算(所有的运算均是计数单位的操作)，所以异分母分数的加减法需要先转化为相同的分数单位。我们把所有的运算都统一到基于计数单位和计数单位个数的运算，就可以将整数、小数、分数的运算贯通起来，实现数与运算的一致性。
因此，用计数单位这个大观念，就将数的认识与运算关联起来了。数的运算就是计数单位个数的运算。这样做，一是建立了数域之间的关联,二是架起了数的认识与运算的桥梁。也就是说，从计数单位的角度讲，整数、小数、分数在本质上是一致的，运算方式也是一致的，详见下图。
(执笔人:丁锐)
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编 辑：牛 静
内容来源：本文摘至马云鹏 吴正宪等编著的《义务教育数学课程标准（2022年版）50问（小学）》，华东师范大学出版社。
