问题20
为什么在小学阶段增加尺规作图？
在小学阶段增加尺规作图内容，一是让学生感受数学的严谨性，二是让学生在切实体验中发展几何直观。小学数学的几何内容绝大部分是直观几何，直观几何是描述性的，比如，在验证“三角形内角和是180°”时，就是把三角形的三个角撕下来拼在一起变成一个平角。是不是一定能拼成一个平角呢?其实可能存在误差。在小学阶段，基本不涉及严谨性证明，引入尺规作图的主要目的是让学生初步感悟数学的严谨性。需要注意的是，这个感悟并不是把初中的尺规作图内容放到小学，而是让学生通过“如何作一条和已知线段相等的线段”这样简单的作图问题，感受数学的严谨性。小学阶段常规的作图方法是用尺子量，如量出已知线段长3.5厘米，而后再画一条长3.5厘米的线段。在测量的过程中要考虑两件事情:一是测量的过程会有误差，如量出的“3.5厘米”可能不是已知线段的长度;二是换一个地方作图时，可能会产生误差。因此，画出来的线段与已知线段可能不完全一样，这主要是由测量的误差引起的，而尺规作图会避免测量引起的误差。
比如，吴正宪老师在执教“周长的认识”这节课时，有这样一个环节:取与已知三角形ABC的三条边等长的线段后，依次相连地放在同一条直线上(见下图)。学生是怎么做的呢?一名学生用两根食指指向线段 AB的两个端点，小心翼翼地量得AB边的长。然后用同样的方法分别取与 AC、BC边等长的线段，将它们首尾相接依次排列成为一条直线段。虽然是小心翼翼，但学生还是感觉到“用手比画的时候，两只手不由自主地动了一下，结果就不准确了，得到的线段会与原线段有误差”。那么，如何保证取下来的线段与原来三角形的三条边一样长呢?有没有更好的办法和更合适的工具呢?
吴老师引导学生寻找更好的工具(如直尺、圆规)来帮忙。有的学生拿起圆规将两个脚分别对准三角形一条边的两个端点，再移至直线上。学生感悟到:“只要把圆规手柄处拧紧，移动的过程线段的长度才不会变，取下来的线段就是和原来一样长的真meng线段。”尺规作图方显优势。在用圆规取等长线段、首尾相接的过程中，学生不仅感受到了尺规作图的严谨性，同时也感受到了线段的可加性。事实上，上述过程中不是教师告诉学生数学具有严谨性，而是学生在亲自参与的具体的活动中感悟到用手比划是不准确的，有了“尺规”工具就能准确作图了。
尺规作图主要是指用无刻度的直尺和圆规作图。在尺规作图中，首先是用圆规的两只脚对准已知线段的两个端点，圆规两只脚之间的距离就是这条线段的长度，即使不知道线段的具体长度，圆规量的长度也是确定的;其次是把这个长度放在另外一个地方再去量，期间需要保证动作的稳定性;最后会得到与原线段同样长的一条线段。这样作出的线段误差要小得多，从而让学生感知数学是严谨的。在用尺规作图的过程中，不需要知道线段的具体长度，只要按照作图的步骤完成即可。
小学阶段的尺规作图主要目的是让学生做中学，创中悟，玩一玩，画一画，在亲自动手的活动中发现新问题，发现惊喜。如学生在进行尺规作图时，惊喜地发现“没有刻度的尺子和圆规配合后，居然能画出一个与原来一模一样的图形”，从而感受到数学原来这么有意思，体会到尺规作图的价值，激发学生学习的兴趣。
尺规作图还有助于学生形成几何直观。在用尺规作图时，学生要经历以下过程:一是要考虑用尺规作图的关键是什么，作出的图形是什么样子的，这就培养了学生的空间想象力:二是要明确作图的步骤，知道每一步该做什么、该如何做，才能完成作图的任务，要有规划;三是要将作图的过程完整且清晰地表达出来。这对学生来说具有较大的挑战性，不仅可以培养学生的动手操作能力，也有助于学生形成几何直观和推理意识。
比如，吴正宪老师在引导学生探索“三角形三边关系”时，启发学生用尺规作图的方法尝试解释“任意两边之和大于第三边时可以围成三角形”的道理。她鼓励学生先想象:三条线段一定能围成一个三角形吗?可能会出现什么情况?接着引导学生用尺规作图，作图前要想一想作图的步骤，并在作图中想象、推理。学生寻找交点的过程特别有意思，有的学生因为画的弧比较短，一时找不到交点，干脆放弃了画弧，另辟蹊径;有的学生借助直尺分别以底边的两端为顶点不停地画射线，期望在众多条射线中能找到第三个顶点;有的学生在画弧的过程中，不经意间有了交点，懵懵懂懂中把三角形画好了，却不能很好地表述画图过程中的道理。在不断试错、调整中，学生发现:当任意两边之和大于第三边时，两弧在底边外相交于一点，可以围成三角形;当两边之和等于第三边时，两弧的交点正好在底边上，不能围成三角形;当两边之和小于第三边时、两弧无法相交，找不到交点，不能围成三角形。在亲自动手做一做中、学生直观感悟到“三角形任意两边之和大于第三边”的性质，同时体会到“两点之间线段最短”，尤其是在不断画图找两条弧线交点的过程中，学生会有更多新发现、新感受、新惊喜，增强了学生的想象力和推理意识。
用已知的三条线段作三角形，这个任务看似简单，但学生在完成的时候并不容易。首先，学生要构思这样的三条边围成的三角形大概是什么形状;其次，选择一条线段作为底边，这样就确定了三角形两个项点的位置;最后，确定第三个顶点的位置，在不断地尝试、调整中,发现第三个顶点在两条弧线的交点处。这个过程不仅体现了尺规作图的严谨性，而且通过找点的位置，有效刺激了学生多种感官参与认知活动、大大激发了学生的学习兴趣和创造力，发展了学生的动手操作能力和对数学知识的深入理解，发展了几何直观与推理意识。(执笔人:位惠女)
END
极深研几
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编 辑：牛 静
内容来源：本文摘至马云鹏 吴正宪等编著的《义务教育数学课程标准（2022年版）50问（小学）》，华东师范大学出版社。
