问题12
“数量关系”主题包括哪些内容?
《课标2022》中的“数量关系”主题由《课标2011》中的“式与方程”“正比例、反比例”“探索规律”等内容整合而成，并把方程和反比例内容调整到第四学段，同时整合了分散在数的运算中的常见的数量关系、估算、运用数和数的运算解决问题等内容，因为这些内容的本质都是数量关系。数量关系重在用数和符号对实际情境中数量之间的关系和规律的表达，重在用数学模型解决问题。《课标2022》的“数量关系”主题包含的主要内容有运用四则运算的意义解决实际问题、理解常见的数量关系并用以解决问题、从数量关系的角度理解用字母表示关系和规律、比和比例以及等量的等量相等。
一、运用四则运算的意义解决实际问题
加减乘除四则运算的意义是进行数的运算的依据，也是分析数量关系解决问题的基础。从1年级加减法的认识到2年级乘除法的认识，都是理解数量关系的重要内容。加减法是学习计算的开始，也是理解数量关系、学习解决问题的开始，后面学习的加法模型就是在此基础上建立的。乘除法的数量关系稍复杂一些，乘法的基本含义是求相同加数的和，所以，乘法通常从相同数量的累加开始(后面还会引入“倍”的意义)，这是乘法最基本的数量关系。除法通常有“等分”和“包含”两个含义:把总数量平均分成若干份，求每份是多少是等分;如果知道每份是多少，求可以分成几份就是包含除法。随着学习内容的拓展，让学生逐步将四则运算与加法模型和乘法模型建立联系。《课标2022》的相关要求包括:
(1)第一学段“在简单的生活情境中，运用数和数的运算解决问题,能解释结果的实际意义，形成初步的应用意识”:
(2)第二学段“在实际情境中，运用数和数的运算解决问题:在解决实际问题的过程中，能结合具体情境，选择合适的单位进行简单估算，休会估算在生活中的作用”;
(3)第三学段“在解决实际问题的过程中，会选择合适的方法进行估算”。
另外,《课标2022》将估算由原来“数的运算”主题调整到“数量关系”主题中，原因在于，估算的主要目的不是计算，而是对数量的运算，是以分析具体情境中的数量关系为重点。相关要求包括:“在解决实际间题的过程中，能结合具体情境，选择合适的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”“在解决实际问题的过程中，会选择合适的方法进行估算”。
二、常见的数量关系
常见的数量关系主要包括加法模型、乘法模型及其变式与组合，这也是第二学段重点要学习的内容。《课标2022》在原来两个乘法模型基础上，又增加了加法模型“总量=分量+分量”，表示将一个数量作为整体，这个整体由两个部分合并组成，两个部分还可以拓展为更多的部分。加法模型的变式可以写成“分量-总量-分量”，合并的关系还可以拓展成增加的关系，其变式就是减少的关系。乘法模型是“总价-单价x数量”和“路程一速度x时间”，前者表示一个数量与另一个数量的倍数关系，也是特殊的加法模型的拓展(相同加数的和)，后者包含了一个复合的物理量一速度(单位时间内通过的路程)，是一种特殊的乘法模型。乘法模型的变式可以写成“单价=总价÷数量”或“数量=总价÷单价”，以及“速度=路程÷时间”或“时间=路程 ÷速度”。具体如下表所示:
这三个模型可以组合成若干个数量关系的模型。比如，在“分量=总量-分量”这一加法模型中，当其中一个分量用乘法模型来表达时，就会出现类似下面这样的问题:“一本书60页，看了它的1/3，还剩下多少页?”解决此问题的数量关系模型有:全书的页数-看了的页数=剩下的页数(加法模型拓展)，看了的页数=全书的页数x1/3=(乘法模型)，最后得出算式:60-60x1/3。在此过程中，学生需要从实际问题的具体情境出发，分析其中的数量关系，并抽象出相应的模型，从而提高其发现、提出、分析和解决问题的能力。可以说，模型是数量关系的一般性表达，是四则运算意义的抽象。
三、用字母表示关系和规律
《课标2022》将“用字母表示数”调整到“数量关系”主题中，突出了字母不是简单地表示一个数，而是可以用字母或含有字母的式子表示数量关系、性质和规律，增强了用字母表示的一般化表达，是从算术思维到代数思维的拓展。相关要求包括:“在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性。"
加法模型、乘法模型、以及运算律、计算公式等都可以用字母表示、自然数的奇偶性、四则运算中的互道关系、三角形两边之和大于第三边等，也可以用字母表达。小学阶段常见的有:(1)用字母表示关系，如6-30+a可以表示爸爸和儿子的年龄关系，b-4a可以表示青蛙的腿数和只数的关系:(2)用字母表示性质，如2a是偶数，2a+1是奇数，axb-e、 a=c+6;(3)用字母表示规律，如a+b=b+a表示运算律，b-3a可以表示三角形个数和摆三角形所用的小棒数之间的规律等。这样的关系或规律用字母表达更具一般性，也是培养学生初步代数思维的需要。可以说，“用字母表示关系、性质和规律”是一种从具体到一般的思维方法、体现了用符号表达的一般性和抽象性，为解决问题提供了新思路和新方法，也为后继学习方程、函数等知识奠定了基础。
四、比和比例
《课标 2022》中“比和比例”这一内容的一个明显变化就是把反比例的内容调整到第四学段。相关要求包括“在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题”“通过具体情境，认识成正比的量(如一=5);能探索规律或变化趋势(如y=Sx)”。小学阶段只涉及成正比的量，即-=k(k≠0)这样的关系，也可以表示为y=kx(k0)。“比和比例”本质上反映的是数量之间的一种关系。比是两个数量倍数关系的表达，比中的两组数量可以是同类的量，也可以是不同类的量，但它们的关系是确定的，可以用乘法模型来理解。比如，3:2表达的不只是两个数3和2之间的关系，还表达了两组数量之间具有3:2这样的关系(a:b=3:2)。两个相等的比构成比例，按比例分配则是比的拓展应用。比如，砌墙时水泥和沙子的比是1:6、而抹灰时水泥和沙子的比是1:3、两种情境下的配比不一样，用途就不一样。
五、等量的等量相等
“等量的等量相等”作为一个基本事实，是《课标2022》中新增加的一个学习内容，目的在于培养学生初步的代数思维，增强学生对数学严谨性的体验，培养学生的推理意识。相关要求体现在第二学段中，表述为“能在具体情境中了解等量的等量相等。”“相等”是“数与运算”主题下的大观念，用来表达数与计算之间、数量之间的相等关系。在运用模型解决问题时，基本的思路就是寻找数量之间的相等关系。“等量的等量相等”是指两个相等的量可以互相代换，用一个未知数量代替另一个未知数量，关键是要找到中间量，并能用中间量建立起两个看似无关联量之间的等量关系，用字母可以表示为“a=b，b=c→a=c”，这也体现了等式的传递性。(执笔人:孙兴华)
END
极深研几
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编 辑：牛 静
内容来源：本文摘至马云鹏 吴正宪等编著的《义务教育数学课程标准（2022年版）50问（小学）》，华东师范大学出版社。
