问题13
如何理解“数量关系”主题内容的本质？
现实世界中存在许多蕴含数量关系的情境，数量关系是数学研究的主要对象之一。小学阶段，“数量关系”主题与问题解决密切相关，重点是使学生理解实际情境中蕴含的数量关系，并将其用含有符号的式子表达出来，进而用合适的方法解决问题。数量关系内容的学习过程也是引导学生经历问题解决的过程，需要逐步引导学生掌握问题解决的方法，提高问题解决的能力，同时也为初中学习代数式和方程奠定基础。
数是数量的抽象，其特征是用符号(数字)表达具体数量的多少。运算包括运算的意义和计算的方法两个方面:运算的意义反映数量关系，如加法表示两个数量的合并;计算方法是根据数的意义和运算法则得出结果，在这个过程中，需要以实际背景为支撑来理解运算中的算理，因为实际背景中体现具体的数量关系，是学生借助数量关系解决问题的基础。
加法模型和乘法模型是数量关系的抽象表达，小学数学中大多数问题都可以利用这两个模型及其拓展和组合进行分析和解决。加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型，减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆运算等的模型，乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数等的模型，除法可以作为平均分配、比率或乘法逆运算等的模型。教学中要以大观念“和”为统领，让学生感受加法就是把几个部分合并成一个整体，减法就是从整体中去掉若干个部分求剩余的部分，乘法就是把几个相同的部分合并成一个整体，除法就是从整体中减去若干个相同。
相等是数量之间的相等关系。在运用模型解决问题时，基本的思路就是寻找数量之间的相等关系。广义上讲，数量之间存在各种不同类型的关系，如大小关系、顺序关系、相等关系、包含关系等。数量之间的相等与不等关系是数量关系的主要表现形式，小学阶段的数量关系主题主要涉及数量之间的相等关系，如加法模型、乘法模型、四则运算、运算律、正比例关系等都表达的是数量之间的相等关系。比是一种特殊的数量关系，这里的数量与常规问题中的数量不同，常规问题中的数量是常量，而比中的数量则是一个变量。比如，旗子的长和宽的比是6:4，不代表长和宽一定是6米和4米，只要长和宽的比是6:4就可以。
用数学语言表达现实世界中的数量关系或规律则是数学的重要功能之一。比如，探究实际情境中加法的运算意义时，对其进行抽象可以形成具有一般化的加法模型。若用c=a+b表达总量等于分量之和的关系(其中c表示总量，a和b表示分量)，这样的表达就具有一般性:如果a和b是具体的数，那么这个表达式表达的是加法，c表示和;如果c和a是具体的数，那么这个表达式表达的是减法，也就是加法的逆运算，b表示差。若用y=a+x表示两个变量之间的线性规律(其中x和y是变化的量，a是一个常量)，这里y可以是图书馆里现有的图书数量，a表示原有图书数量， x表示新进的图书数量，等等。(执笔人:孙兴华)
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极深研几
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编 辑：牛 静
内容来源：本文摘至马云鹏 吴正宪等编著的《义务教育数学课程标准（2022年版）50问（小学）》，华东师范大学出版社。
