问题6
为什么把“数的认识”与“数的运算”整合为
“数与运算”?
在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称《实验稿》)和《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称(课标2011》)中，都把“数的认识”和“数的运算”作为数与代数领域的两个单独的主题,在《课标2022》中，则将“数的认识”和“数的运算”合并为一个主题“数与运算”，包括“整数、小数和分数的认识及其四则运算”，并明确指出“数与运算之间有密切的关联”。这个调整与《课标2022》中强调课程内容结构化的理念是一致的。
首先,“数的运算”和“数的认识”在本质上是一体的，因为数概念具有概念过程性。从数系扩展的角度来说，计数产生了自然数，加法表达了计数行为的过程;乘法是对相同加数求和的压缩;减法是加法的逆运算，为了使减法具有封闭性，产生了负整数;除法是乘法的逆运算,并与分数的表达相关联。因此，可以说，数概念本身就包含着运算的过程。类似的《课标2022》中特别强调可以将数学的抽象结构表述为“研究对象+”的形式，其中“”的内容可以是性质、关系、运算。
也就是说，在学习数学概念的同时，还要强调数学概念的性质、关系，或者运算。因此，将“数的认识”与“数的运算”整合成一个主题能够体现结构化的理念，尤其是突出整体性的特征，使数的认识和运算同步。小学阶段所有的运算都是针对数的，所以，小学阶段的运算就是数的运算。可以说，“数”与“运算”二者是相伴而生的，计数产生了数，为了更快地计数，则产生了加法和乘法，而不同的运算又产生了新的数。因此，二者紧密相连。
其次，当前数与代数领域的教学中存在着数的认识与数的运算割裂的现象。认识数时就只讲数，学习运算时就只讲算，这种教学方式割裂了数的认识和数的运算。以分数教学为例。有的老师将分数教学比喻为数与代数领域中的“硬骨头”。老师们在竭尽全力地教，学生们也在铆足劲儿地学、使劲儿地练，可无论是对分数意义多维度的理解、对分数运算的整体把握，还是后续解决分数相关实际问题时，学生常常会感到力不从心，有劲儿使不上。为什么教的费劲儿，学的吃力，教学效果总是不尽如人意呢?问题到底出在哪儿了?关键是没能抓住数的概念的本质，忽视了数的概念和数的运算的内在关联。分数概念与整数、小数相比，显得更加抽象，内涵更为丰富，认知活动更为复杂;分数运算与整数、小数运算相比，在形式上也有明显的区别。教学中若不能把“分数的认识”与“分数的运算”相关联，不能理解分数与整数、小数的本质是一致的，就很容易出现学概念就只学概念，学计算就单单只学计算的情况，如能背诵异分母分数的乘法运算规则是“分子相乘，分母相乘”，但不明白为什么要这样做。
为此，《课标2022》把“数的认识”与“数的运算”整合为一个主题,强化了数的认识是其运算的基础，运算是数的应用,“数的认识”与“数的运算”二者不可分割的理念。在这一理念指导下的分数教学，就能够从内容结构的整体性上认识数的一致性和运算的一致性，沟通“数的认识”与“数的运算”的联系，从而突破长期以来分数教学中的困境，同时对整数、小数的认识与运算的学习也有借鉴价值。
下面从“分数概念”与“分数运算”的一致性、关联性来具体探讨一下“数与运算”整合为一个主题的道理。
分数的概念是丰富的，教师要引领学生多角度理解分数的丰富意义:(1)分数主要表示“整体与等分的部分之间的关系”或是“两个相对独立量之间的关系”，这相当于分数的“比的定义”。(2)从“单位”角度理解，分数是将“1”这个单位细化的结果，细化后变成比“1”小的单位一一分数单位，分数就是该分数单位累加的结果，也可以看作是单位的度量。这样就可以将认识自然数时所用的数数的经验，迁移到认识分数。通过数分数单位，比如1/5，依次能得到分、1/5、2/5、3/5、4/5“等分数。其中,4/5就是4个1/5累加，4/5也可以看作是以1/5为单位，度量4次的结果。(3)将分数概念与运算解决问题建立关联。比如，“一本故事书50页，读了它的2/5，可以理解为读了50页的2/5，也就是说把50页平均分成5份，表示其中的2份，从而列出算式50÷5x2，即50x2/5。(4) 从“商的定义”理解，分数是一种新的数，是为了保证运算封闭而生成的新的数字符号，是数域扩张的产物。如“把1块月饼平均分给4个人，每人分到多少块?”1÷4=1/4(块)，也是1块的1/4。当商不能用整数表达时，就产生了新的数(分数)的表达，因此我们可以从商的角度理解分数的意义。上述分数的四种含义在各种问题情境中是相通的，我们可以“分”出分数、“量”出分数、“算”出分数，实现从比率、度量、运算、商的角度深入理解分数概念，并在理解把握分数意义的基础上，进行有关分数问题的学习。
数是运算的基础，运算是数的应用，分数的加减乘除运算就是分数单位的运算。由上面的案例可以感受到，所有的分数运算都与分数的意义关联，分数运算可以看作是对计数单位的操作。教学中应在建立好分数概念“承重墙”的基础上，善于打通分数概念与分数运算的“隔断墙”，建立起从整体视角理解数学概念的观念。“数与运算”合并成一个主题体现了内容结构化的理念，使得数概念与数运算互相给力，相辅相成。在数与运算内容结构的整体建构中，促进学生对概念的深入理解，让分数的学习过程充满内容结构的智慧，从而唤起学生思维生长的力量。
总之,《课标2022》强调课程内容组织的重点是对内容进行结构化整合。对数与运算内容进行结构化整合，就是要重视对数的概念与数的运算的整体理解，抓住共同的核心要素，沟通知识的内在关联，这是探索发展学生核心素养的重要路径。
(执笔人:丁锐)
END
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编 辑：牛 静
内容来源：本文摘至马云鹏 吴正宪等编著的《义务教育数学课程标准（2022年版）50问（小学）》，华东师范大学出版社。
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